Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

1. Область определения. Дробь равна нулю только там, где определён знаменатель (он не равен нулю) и определён числитель. Значит нужно:

• $\sqrt{2}\cos x>0$ и $\sqrt{2}\cos x\ne 1$ (иначе $\log_{31}(\sqrt2\cos x)$ не определён или равен 0), то есть $\cos x>0,\ \cos x\ne\dfrac{\sqrt2}{2}$;
• $2\sin^2x>0$, то есть $\sin x\ne0$.

2. Когда дробь равна нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю (а знаменатель — не нулю). Числитель — произведение $(\tan x+\sqrt3)\cdot\log_{13}(2\sin^2x)$, значит один из множителей равен нулю: $$\tan x=-\sqrt3 \quad\text{или}\quad \log_{13}(2\sin^2x)=0\Rightarrow 2\sin^2x=1\Rightarrow \sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

3. Проверка условий области определения для каждого случая.

Случай $\sin x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$. Так как нужно $\cos x>0$, то $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ (при $\sin x=\pm\frac{\sqrt2}2$ по основному тригонометрическому тождеству $\cos^2x=1-\sin^2x=\frac12$, а с учётом $\cos x>0$ получаем именно $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$). Но это запрещено условием $\cos x\ne\dfrac{\sqrt2}{2}$. Значит этот случай не даёт решений.

Случай $\tan x=-\sqrt3$. Вместе с условием $\cos x>0$ (из области определения) это однозначно определяет угол: $\tan x=-\sqrt3$ и $\cos x>0$ выполняется только при $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$ Проверим оставшиеся условия: при этих $x$ $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\ne0$ — верно; $\cos x=\dfrac12\ne\dfrac{\sqrt2}{2}$ — верно. Все условия области определения выполнены.

Ответ а): $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$.

4. Отбор корней на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right]$. Подставляем разные $n$ в формулу $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$:

• при $n=1$: $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=\dfrac{5\pi}{3}\approx5{,}24$ — попадает в отрезок $[4{,}71;\,7{,}85]$;
• при $n=0$ значение отрицательное — не подходит;
• при $n=2$ значение $\dfrac{11\pi}{3}\approx11{,}5$ — слишком велико.

Единственный подходящий корень — $x=\dfrac{5\pi}{3}$.

Ответ б): $\dfrac{5\pi}{3}$.