Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Область определения. Под логарифмом стоит выражение $2\cos x$, поэтому нужно $2\cos x>0$, то есть $\cos x>0$.

Замена переменной. Обозначим $t=\log_2(2\cos x)$. Тогда $\log_2^2(2\cos x)=t^2$, и уравнение превращается в квадратное: $$2t^2-9t+4=0.$$ Дискриминант $D=81-32=49$, корни $t=\dfrac{9\pm7}{4}$, то есть $t_1=4,\ t_2=\dfrac12$.

Возврат к исходной переменной. Получаем два уравнения: $$\log_2(2\cos x)=4 \quad\text{или}\quad \log_2(2\cos x)=\dfrac12.$$ По определению логарифма это равносильно $$2\cos x=2^4=16 \quad\text{или}\quad 2\cos x=2^{1/2}=\sqrt2,$$ то есть $$\cos x=8 \quad\text{или}\quad \cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}.$$ Первое равенство невозможно, так как $\cos x$ не превышает $1$. Второе удовлетворяет условию ОДЗ ($\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}>0$), значит оно и даёт решения.

Решение $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$. По таблице значений косинуса: $$x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Отбор корней на $[-2\pi;-\pi/2]$. Перебираем серии:

• $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $x=\dfrac{\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{7\pi}{4}$ — это число лежит между $-2\pi\approx-6{,}28$ и $-\dfrac{\pi}{2}\approx-1{,}57$, значит подходит.
• $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi k$: при $k=-1$ имеем $x=-\dfrac{9\pi}{4}<-2\pi$ — не подходит; при $k=0$ имеем $x=-\dfrac{\pi}{4}>-\dfrac{\pi}{2}$ — тоже не подходит.

Таким образом на заданном отрезке остаётся единственный корень $x=-\dfrac{7\pi}{4}$.