Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Шаг 1. Освобождаемся от логарифма. По определению логарифма $\log_2(\cos x+\sin2x+8)=3 \iff \cos x+\sin2x+8=2^3=8$, то есть $$\cos x+\sin2x=0.$$ Здесь важно, что после возведения в степень выражение под логарифмом автоматически равно 8>0, поэтому область определения соблюдена — отдельно проверять её не нужно.

Шаг 2. Приводим к общему множителю. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin2x=2\sin x\cos x$. Тогда $$\cos x+2\sin x\cos x=0 \iff \cos x(1+2\sin x)=0.$$

Шаг 3. Разбиваем на два случая.

• $\cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$;
• $\sin x=-\dfrac12 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ (два семейства, так как синус принимает значение $-\frac12$ в двух точках на окружности).

Это и есть общий ответ пункта а).

Шаг 4. Отбор корней на отрезке $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$. Подставляем целые $k$ в каждое семейство и проверяем попадание в отрезок:

• из $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$: $k=1\Rightarrow \frac{3\pi}{2}$, $k=2\Rightarrow \frac{5\pi}{2}$ — подходят;
• из $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$: $k=1\Rightarrow \frac{11\pi}{6}$ — подходит;
• из $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$: соседние значения ($\frac{7\pi}{6}$, $\frac{19\pi}{6}$) выходят за границы отрезка.

В итоге на отрезке остаются $\dfrac{3\pi}{2},\ \dfrac{11\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{2}$.