ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типа2.1.4 Тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 5 косинус x плюс 2 правая круглая скобка умножить на \log _11 левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка =0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, при обязательном учёте области определения логарифма (−sin⁡x>0-\sin x>0), которая отсеивает часть решений квадратного уравнения по косинусу.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, при этом должна выполняться область определения логарифма: −sin⁡x>0-\sin x>0, то есть sin⁡x<0\sin x<0.

Случай 1. log⁡11(−sin⁡x)=0\log_{11}(-\sin x)=0 даёт −sin⁡x=1-\sin x=1, то есть sin⁡x=−1\sin x=-1. Это удовлетворяет условию sin⁡x<0\sin x<0. Отсюда x=−π2+2πk, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Случай 2. Если логарифм не равен нулю, то нулю должен равняться первый множитель: 2cos⁡2x−5cos⁡x+2=02\cos^2x-5\cos x+2=0. Это квадратное уравнение относительно cos⁡x\cos x: дискриминант 25−16=925-16=9, корни cos⁡x=5±34\cos x=\dfrac{5\pm3}{4}, то есть cos⁡x=2\cos x=2 (не подходит, косинус не превышает 1) или cos⁡x=12\cos x=\dfrac12.

Из cos⁡x=12\cos x=\dfrac12 получаем x=±π3+2πkx=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k. Проверяем условие sin⁡x<0\sin x<0: при x=π3+2πkx=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k синус положителен — не подходит; при x=−π3+2πkx=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k синус отрицателен — подходит.

Итого решения: x=−π2+2πkx=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k и x=−π3+2πk, k∈Zx=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Пункт б. Ищем k, при которых корни попадают в [π; 5π/2][\pi;\,5\pi/2].

Для x=−π2+2πkx=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k: π≤−π2+2πk≤5π2\pi\le -\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\le \dfrac{5\pi}{2} ⇒ 34≤k≤32\dfrac34\le k\le\dfrac32 ⇒ k=1k=1, тогда x=3π2x=\dfrac{3\pi}{2}.

Для x=−π3+2πkx=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k: π≤−π3+2πk≤5π2\pi\le -\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\le\dfrac{5\pi}{2} ⇒ 23≤k≤1712\dfrac23\le k\le\dfrac{17}{12} ⇒ k=1k=1, тогда x=5π3x=\dfrac{5\pi}{3}.

В итоге на отрезке лежат корни 3π2\dfrac{3\pi}{2} и 5π3\dfrac{5\pi}{3}.

Типичные ошибки

  • Забывают учитывать область определения логарифма (sin⁡x<0\sin x<0) и включают в ответ лишние корни, например x=π/3+2πkx=\pi/3+2\pi k
  • Неверно решают квадратное уравнение относительно cos⁡x\cos x или не отбрасывают корень cos⁡x=2\cos x=2
  • При отборе корней на отрезке ошибаются в неравенствах для параметра k, получая неверные значения k или пропуская нужные
Непонятно?

Похожие задачи