ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаФормулы двойного угла

а)  Решите уравнение: логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус синус 2x правая круглая скобка =x.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Снять логарифм по определению, заметить, что 4x=22x4^x=2^{2x} сокращается с показательным членом, свести уравнение к тригонометрическому через формулу sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x и разложить на множители.

Шаг 1. Снимаем логарифм. По определению логарифма log⁡4A=x  ⟺  A=4x\log_4 A=x \iff A=4^x, поэтому уравнение равносильно 22x−3cos⁡x−sin⁡2x=4x.2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x. При этом аргумент логарифма автоматически положителен (он равен 4x>04^x>0), значит ОДЗ проверять отдельно не нужно.

Шаг 2. Упрощаем. Заметим 4x=(22)x=22x4^x=(2^2)^x=2^{2x}. Подставив, получаем 22x−3cos⁡x−sin⁡2x=22x  ⇒  −3cos⁡x−sin⁡2x=0.2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=2^{2x}\;\Rightarrow\;-\sqrt3\cos x-\sin2x=0.

Шаг 3. Используем формулу двойного угла sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x: −cos⁡x(2sin⁡x+3)=0.-\cos x(2\sin x+\sqrt3)=0. Произведение равно нулю, значит либо cos⁡x=0\cos x=0, либо 2sin⁡x+3=02\sin x+\sqrt3=0, т.е. sin⁡x=−32\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}.

Шаг 4. Решаем каждое простое уравнение. cos⁡x=0⇒x=π2+πn.\cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n. sin⁡x=−32⇒x=−π3+2πn\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n или x=−2π3+2πnx=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n (два семейства, так как синус отрицателен в третьей и четвёртой четвертях, симметрия относительно −π/2-\pi/2).

Это и есть общий ответ пункта а).

Шаг 5. Отбор корней на [−π/2; 3π/2][-\pi/2;\,3\pi/2]. Подставляя подряд целые nn в каждую формулу и проверяя попадание в отрезок (удобно представить окружность и отмерять углы), получаем допустимые значения: из cos⁡x=0\cos x=0 — −π/2, π/2, 3π/2-\pi/2,\ \pi/2,\ 3\pi/2; из x=−π/3+2πnx=-\pi/3+2\pi n — −π/3-\pi/3; из x=−2π/3+2πnx=-2\pi/3+2\pi n (при n=1n=1) — 4π/34\pi/3. Остальные значения выходят за границы отрезка.

Типичные ошибки

  • Пытаются искать ОДЗ логарифма отдельно, не замечая, что подкоренное/подлогарифмическое выражение автоматически равно 4x>04^x>0.
  • Забывают разложить sin⁡2x\sin2x через sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x, из-за чего не удаётся сократить с 22x2^{2x}.
  • При отборе корней на отрезке путают знаки при переборе целых nn и теряют или добавляют лишние решения.
Непонятно?

Похожие задачи