Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Знаменатель $\log_7(\cos x)$ существует только при $\cos x>0$, а не равен нулю — при $\cos x\neq 1$. Значит, решаем систему: $$2\sin^2x-\sin x=0,\quad \cos x>0,\quad \cos x\neq 1.$$

Разложим уравнение: $\sin x(2\sin x-1)=0$, отсюда $\sin x=0$ или $\sin x=\dfrac12$.

Если $\sin x=0$, то $x=\pi k$, тогда $\cos x=\pm1$ — оба случая нарушают условия ($\cos x>0$ и $\cos x\neq1$), поэтому эти корни не подходят.

Если $\sin x=\dfrac12$, получаем две серии: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ (тогда $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}>0$ — подходит) и $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ (тогда $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}<0$ — не подходит).

Таким образом, решение уравнения: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}$.

б) Нужно найти такие $k$, при которых $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ попадает в отрезок $[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}]$.

Составим неравенство: $$-5\pi\le \dfrac{\pi}{6}+2\pi k\le -\dfrac{7\pi}{2}.$$

Вычтем $\dfrac{\pi}{6}$ и разделим на $2\pi$: $$-\dfrac{31}{12}\le k\le -\dfrac{11}{6}.$$

Числовые оценки: $-2.58\le k\le -1.83$. Единственное целое значение — $k=-2$.

Подставим: $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi(-2)=\dfrac{\pi}{6}-4\pi=-\dfrac{23\pi}{6}$.

Это значение действительно лежит в заданном отрезке, так как $-5\pi\approx-15.71$, $-\dfrac{7\pi}{2}\approx-11.0$, а $-\dfrac{23\pi}{6}\approx-12.04$.