ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрия и логарифмы

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрия и логарифмы

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Уравнения смешанного типаВведение замены

а)  Решите уравнение 2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 2=0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 42 задач
Разбор
Главная идея: Свести логарифмическое уравнение к квадратному заменой t=log⁡3(2cos⁡x)t=\log_3(2\cos x), решить его, вернуться к косинусу, учесть ОДЗ (2cos⁡x>02\cos x>0) и отбор корней на отрезке через подбор параметра kk.

  1. Введём замену t=log⁡3(2cos⁡x)t=\log_{3}(2\cos x). Тогда уравнение 2log⁡32(2cos⁡x)−5log⁡3(2cos⁡x)+2=02\log_3^2(2\cos x)-5\log_3(2\cos x)+2=0 становится квадратным: 2t2−5t+2=02t^2-5t+2=0.

  2. Дискриминант D=25−16=9D=25-16=9, корни t=5±34t=\dfrac{5\pm3}{4}, то есть t=2t=2 или t=12t=\dfrac12.

  3. Возвращаемся к исходной переменной. Для t=2t=2: log⁡3(2cos⁡x)=2⇒2cos⁡x=32=9⇒cos⁡x=4,5\log_3(2\cos x)=2\Rightarrow 2\cos x=3^2=9\Rightarrow \cos x=4{,}5. Так как ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1, это уравнение решений не даёт.

  4. Для t=12t=\dfrac12: log⁡3(2cos⁡x)=12⇒2cos⁡x=31/2=3⇒cos⁡x=32\log_3(2\cos x)=\dfrac12\Rightarrow 2\cos x=3^{1/2}=\sqrt3\Rightarrow \cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}. Это допустимое значение (модуль не превышает 1), и заодно 2cos⁡x=3>02\cos x=\sqrt3>0, значит аргумент логарифма положителен — область определения соблюдена.

  5. Уравнение cos⁡x=32\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2} имеет стандартное решение: x=±π6+2πk, k∈Zx=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} — это и есть ответ пункта а).

  6. Для пункта б) подставляем в формулы корней конкретные целые kk и проверяем принадлежность отрезку [π; 5π/2][\pi;\,5\pi/2] (числа примерно от 3,143{,}14 до 7,857{,}85).

  • Ветка x=π6+2πkx=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k: при k=1k=1 получаем x=π6+2π=13π6≈6,81x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{13\pi}{6}\approx6{,}81 — попадает в отрезок.
  • Ветка x=−π6+2πkx=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k: при k=1k=1 получаем x=−π6+2π=11π6≈5,76x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}\approx5{,}76 — тоже попадает.
  • Другие значения kk дают числа вне заданного отрезка.
  1. Значит, на отрезке [π;5π/2][\pi;5\pi/2] лежат ровно два корня: 11π6\dfrac{11\pi}{6} и 13π6\dfrac{13\pi}{6}.

Типичные ошибки

  • Забывают проверить условие ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\le1 и не отбрасывают лишний корень cos⁡x=4,5\cos x=4{,}5.
  • Не учитывают ОДЗ логарифма (аргумент должен быть положительным), хотя в данном случае оно выполняется автоматически.
  • Ошибаются при отборе корней на отрезке — берут не те значения параметра kk или путают знаки в формулах серии корней.
Непонятно?

Похожие задачи