Задание 13 ЕГЭ профиль: уравнения всех типов с отбором корней

Что проверяет задание

Задание 13 — это уравнение, которое нужно решить полностью, а затем (во втором пункте) выбрать из найденных корней те, что попадают в заданный промежуток или отрезок. Проверяются три навыка одновременно:

• умение сводить сложное уравнение (тригонометрическое, показательное, логарифмическое, иррациональное или смешанное) к алгебраическому через замену переменной;
• аккуратная работа с ОДЗ — областью допустимых значений, без которой легко получить посторонние корни;
• умение отбирать корни на числовом промежутке, сравнивая точные значения (с $\pi$, логарифмами, корнями) с границами отрезка.

Задание считается одним из самых объёмных по вычислениям в первой части экзамена, поэтому именно здесь чаще всего теряются баллы из-за невнимательности, а не из-за незнания теории.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Стандартная формулировка состоит из двух пунктов:

• а) Решите уравнение (общее решение, часто с параметром $k\in\mathbb{Z}$, если уравнение тригонометрическое).
• б) Найдите (или укажите) корни, принадлежащие заданному отрезку или интервалу.

За задание можно получить максимум 2 балла:

• 2 балла — оба пункта верны, с обоснованным решением;
• 1 балл — верно решён только пункт а) (без ошибок в вычислениях, но без отбора или с ошибкой в отборе), либо получен верный ответ в пункте б) при наличии вычислительной ошибки в пункте а), не влияющей на итоговый отбор;
• 0 баллов — уравнение решено с ошибкой по существу, либо решение отсутствует.

Особое внимание эксперты уделяют обоснованию ОДЗ и корректности отбора корней — это отдельный проверяемый шаг, а не «довесок».

Что нужно знать

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2x+\cos^2x=1$, $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.
• Формулы двойного угла: $\sin2x=2\sin x\cos x$, $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$.
• Простейшие тригонометрические уравнения: $\sin x=a\Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n$; $\cos x=a\Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n$; $\tan x=a\Rightarrow x=\arctan a+\pi n$.
• Свойства степеней: $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, $a^{mn}=(a^m)^n$, $a^x>0$ для любого $x$ при $a>0$.
• Свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$ (при $x,y>0$), $\log_a x^n=n\log_a x$ (с учётом чётности $n$), ОДЗ логарифма: аргумент $>0$, основание $>0$, основание $\neq1$.
• Иррациональные уравнения: $\sqrt{f(x)}=g(x)\iff \begin{cases}f(x)=g(x)^2\\ g(x)\geq0\end{cases}$; при возведении в квадрат корни могут появляться посторонние — проверка обязательна.
• Уравнение под корнем чётной степени или в знаменателе всегда требует ОДЗ: подкоренное выражение $\geq0$ (или $>0$, если корень в знаменателе), знаменатель $\neq0$.
• Однородное тригонометрическое уравнение вида $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ решается делением на $\cos^2x$ (при условии $\cos x\neq0$, что проверяется отдельно).
• Приближённые значения для отбора корней: $\pi\approx3.14$, $\sqrt2\approx1.41$, $\sqrt3\approx1.73$, $\sqrt{10}\approx3.16$; для логарифмов удобно оценивать через степени: $\log_39\approx2$, значит $\log_35$ между $1$ и $2$.

Методы решения

1. Метод замены переменной (показательные и тригонометрические уравнения). Показательное уравнение вида $A\cdot a^{2x}+B\cdot a^x+C=0$ сводится к квадратному заменой $t=a^x$ ($t>0$). Пример: $4^x-6\cdot2^x+8=0$. Замена $t=2^x$: $t^2-6t+8=0\Rightarrow t=2$ или $t=4$, откуда $x=1$ или $x=2$.

2. Разложение на множители. Если уравнение можно представить как произведение множителей, равное нулю, решаем каждый множитель отдельно с учётом ОДЗ. Пример: $\sin x\cos x-\sin x=0\Rightarrow \sin x(\cos x-1)=0\Rightarrow \sin x=0$ или $\cos x=1$.

3. Однородные тригонометрические уравнения. Уравнение $a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$ делится на $\cos^2x$ (проверив, что $\cos x=0$ не является корнем), получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$. Пример: $\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0$. Деление на $\cos^2x$: $\tan^2x-3\tan x+2=0\Rightarrow \tan x=1$ или $\tan x=2$.

4. Метод учёта ОДЗ (область допустимых значений). Прежде чем решать уравнение с корнями, логарифмами или дробями, находим область, где уравнение имеет смысл, и в конце проверяем каждый найденный корень на принадлежность этой области. Пример: $\dfrac{\sin x}{\sqrt{-\cos x}}=1$. ОДЗ: $-\cos x>0\Rightarrow \cos x<0$. Только после этого решаем уравнение и отбираем корни, удовлетворяющие условию $\cos x<0$.

5. Метод потенцирования (для иррациональных и логарифмических уравнений). Освобождаемся от корня возведением в степень или от логарифма — переходом к равенству аргументов, с обязательной проверкой полученных корней в исходном уравнении. Пример: $\sqrt{2x+3}=x$. Возводим в квадрат: $2x+3=x^2\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x=3$ или $x=-1$. Проверка: $x=-1$ даёт $\sqrt1=-1$ — неверно, значит единственный корень $x=3$.

Алгоритм решения по шагам

1. Найти ОДЗ уравнения: учесть знаменатели, подкоренные выражения, аргументы логарифмов, области определения $\tan x$, $\cot x$.
2. Привести уравнение к удобному виду: раскрыть формулы (двойного угла, свойства степеней/логарифмов), перенести всё в одну часть.
3. Сделать замену переменной, если уравнение сводится к квадратному или другому стандартному виду; указать ограничение на новую переменную (например, $t>0$ для показательных).
4. Решить полученное уравнение относительно новой переменной, затем вернуться к исходной.
5. Проверить каждый корень по ОДЗ — отбросить посторонние решения.
6. Выполнить обратную замену и получить общий ответ пункта а) (с параметром $k\in\mathbb{Z}$ для тригонометрии).
7. Для пункта б) подставить целые значения параметра и найти те корни, которые попадают в заданный отрезок, сравнивая точные значения с границами (через десятичные приближения при необходимости).

Разбор примеров

Пример 1.

Условие: а) решить $\dfrac{2\sin^2x-\sin x-1}{\sqrt{-\cos x\tan x}}=0$; б) найти корни на отрезке $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Шаг 1 — ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть строго положительным (это ещё и знаменатель дроби): $-\cos x\tan x>0$. Подставляя $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ при $\cos x\neq0$, получаем $-\cos x\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\sin x>0$, то есть $\sin x<0$. Случай $\sin x=-1$ даёт $\cos x=0$, при котором $\tan x$ не определён — исключаем. Итог ОДЗ: $-1<\sin x<0$.

Шаг 2 — решение числителя. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (на ОДЗ): $2\sin^2x-\sin x-1=0$. Замена $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0\Rightarrow t=1$ или $t=-\dfrac12$.

Шаг 3 — проверка по ОДЗ. Условию $-1<\sin x<0$ удовлетворяет только $t=-\dfrac12$; значение $t=1$ отбрасываем.

Шаг 4 — решение простейшего уравнения. $\sin x=-\dfrac12\Rightarrow x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$. Это ответ пункта а): $\left\{\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k;\ \dfrac{11\pi}{6}+2\pi k\right\}$.

Шаг 5 — отбор на отрезке. Отрезок $[2\pi;\,7\pi/2]\approx[6.28;\,10.99]$. Проверяем серии: при $k=1$ в первой серии $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi=\dfrac{19\pi}{6}\approx9.95$ — попадает в отрезок. Остальные значения при других $k$ и во второй серии выходят за границы. Ответ пункта б): $\dfrac{19\pi}{6}$.

Пример 2.

Условие: а) решить $9^{x-\frac12}-8\cdot3^{x-1}+5=0$; б) найти корни на промежутке $\left(1;\dfrac73\right)$.

Шаг 1 — преобразование степеней. $9^{x-\frac12}=\dfrac{9^x}{3}=\dfrac{3^{2x}}{3}$, $3^{x-1}=\dfrac{3^x}{3}$. Уравнение принимает вид $\dfrac{3^{2x}}{3}-\dfrac{8\cdot3^x}{3}+5=0$. Умножаем на 3: $3^{2x}-8\cdot3^x+15=0$.

Шаг 2 — замена. Пусть $t=3^x>0$: $t^2-8t+15=0\Rightarrow t=3$ или $t=5$.

Шаг 3 — обратная замена. $3^x=3\Rightarrow x=1$; $3^x=5\Rightarrow x=\log_35$. Оба значения $t>0$, значит оба корня допустимы. Ответ пункта а): $\{1;\ \log_35\}$.

Шаг 4 — отбор на промежутке. Промежуток открытый: $(1;\,7/3)\approx(1;\,2.33)$. Значение $x=1$ не входит, так как граница открыта. Оценим $\log_35$: поскольку $3^{1.5}\approx5.2$, то $\log_35\approx1.465$, что лежит внутри интервала. Ответ пункта б): $\log_35$.

Пример 3.

Условие: а) решить $4^x-2^{x+3}+15=0$; б) указать корни на отрезке $\left[2;\sqrt{10}\right]$.

Шаг 1 — преобразование степеней. $4^x=(2^x)^2$, $2^{x+3}=8\cdot2^x$. Уравнение: $(2^x)^2-8\cdot2^x+15=0$.

Шаг 2 — замена. Пусть $t=2^x>0$: $t^2-8t+15=0\Rightarrow t=3$ или $t=5$.

Шаг 3 — обратная замена. $2^x=3\Rightarrow x=\log_23$; $2^x=5\Rightarrow x=\log_25$. Оба корня допустимы. Ответ пункта а): $\{\log_23;\ \log_25\}$.

Шаг 4 — отбор на отрезке. Отрезок $[2;\sqrt{10}]\approx[2;\,3.16]$. Оценим корни: $\log_23\approx1.585$ — меньше 2, не входит. $\log_25\approx2.32$ — входит в отрезок. Ответ пункта б): $\log_25$.

Типичные ошибки и ловушки

• Игнорирование ОДЗ до решения: если найти ОДЗ после решения уравнения, легко забыть проверить корни и включить в ответ посторонние значения.
• Потеря корней при делении обеих частей уравнения на выражение, которое может равняться нулю (например, деление на $\cos x$ в однородных уравнениях без проверки случая $\cos x=0$).
• Незамеченное ограничение на новую переменную при замене: для показательных уравнений $t=a^x$ всегда $t>0$, отрицательные или нулевые корни квадратного уравнения относительно $t$ нужно отбрасывать.
• Ошибки при возведении в квадрат в иррациональных уравнениях — обязательна проверка знака правой части и подстановка найденных корней в исходное уравнение.
• Неверная оценка приближённых значений при отборе корней с логарифмами или $\pi$: полезно сравнивать через известные степени или табличные значения, а не «на глаз».
• Пропуск целых значений параметра $k$ при переборе серий тригонометрических корней на отрезке — стоит явно выписать несколько соседних значений $k$ в обе стороны от границ отрезка.
• Механическое перемножение логарифмов без учёта ОДЗ аргумента и основания — приводит к появлению корней, не входящих в область определения исходного выражения.

Как готовиться

Задание 13 требует не только знания формул, но и дисциплины в оформлении решения: ОДЗ — в начале, проверка корней — в конце, отбор на промежутке — отдельным явным шагом. Полезно закрепить алгоритм на каждом типе уравнений отдельно: сначала научиться уверенно решать простейшие тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, затем переходить к их комбинациям и уравнениям смешанного типа (тригонометрия с логарифмами, с иррациональностями, с показательными выражениями). При тренировке стоит завести привычку сразу выписывать ОДЗ до начала преобразований и в конце решения возвращаться к нему для проверки каждого корня. Для отбора корней на отрезке эффективно тренироваться в оценке значений с $\pi$, корнями и логарифмами через десятичные приближения — это экономит время на экзамене и снижает риск арифметической ошибки. Регулярное решение задач всех перечисленных подтем (не только «любимых») позволяет выработать автоматизм в распознавании метода: замена переменной, разложение на множители, приведение к однородному виду или прямое решение через ОДЗ.