Уравнения смешанного типа в задании 13 ЕГЭ: гайд с разбором примеров

О чём эта подтема

В задании 13 профильного ЕГЭ время от времени встречаются уравнения, которые не укладываются в привычные категории «показательное», «тригонометрическое» или «иррациональное». В них соединяются сразу несколько типов функций: степени с переменным показателем, корни, квадратичные выражения, тригонометрические функции. Такие задачи называют уравнениями смешанного типа.

Особенность подтемы в том, что стандартного алгоритма «замена — квадратное уравнение» здесь часто недостаточно. Нужно сначала «увидеть» скрытую структуру: где-то корень возводится в квадрат и снимается, где-то одна часть уравнения ограничена снизу, а другая — сверху, и совпасть они могут только в одной точке. Задание, как обычно, состоит из двух пунктов: а) найти все корни, б) отобрать из них корни, принадлежащие заданному отрезку или промежутку.

Что нужно знать

Для решения таких уравнений достаточно ограниченного набора фактов, но пользоваться ими нужно уверенно.

1. Тождество извлечения корня в квадрате: $$\left(\sqrt{f(x)}\right)^2=f(x),\quad \text{если } f(x)\ge 0.$$ Это одно из главных «упрощающих» преобразований в смешанных уравнениях: под корнем стоит сложное выражение, а после возведения в квадрат корень просто исчезает — но при этом обязательно нужно зафиксировать ОДЗ $f(x)\ge 0$.

2. Свойства степеней: $$a^{m+n}=a^m\cdot a^n,\qquad a^{2x+1}=a\cdot(a^x)^2\ (\text{при } a^{2x}=(a^x)^2).$$ Они нужны, чтобы свести показательную часть уравнения к квадратному уравнению относительно новой переменной $y=a^x$.

3. Основное тригонометрическое тождество $\sin^2x+\cos^2x=1$ — часто позволяет выразить один показатель степени через другой.

4. Метод оценки (иногда называют методом мажорант или «минимакс»): если для всех допустимых $x$ выполняется $f(x)\ge C$ и $g(x)\le C$ (где $C$ — одно и то же число), то равенство $f(x)=g(x)$ равносильно системе $$\begin{cases} f(x)=C,\\ g(x)=C.\end{cases}$$ Это ключевой инструмент именно для «нестандартных» уравнений, где обычная алгебра не работает напрямую.

5. Умение решать простые тригонометрические уравнения ($\cos x=0$, $\cos x=1$ и т. п.) и отбирать корни на отрезке через двойное неравенство для целочисленного параметра.

6. Базовые свойства логарифмов — иногда границы отрезка в пункте б) заданы через логарифмические выражения, и нужно уметь оценить их числовое значение (не обязательно точное, достаточно понять знак и порядок величины).

Как решать: метод и алгоритм

Последовательность действий для уравнений смешанного типа удобно выстроить так.

Шаг 1. ОДЗ. Выпишите все ограничения: под корнями выражения должны быть неотрицательны, знаменатели не равны нулю, аргументы логарифмов положительны. Часто именно ОДЗ в дальнейшем «отсеивает» лишний корень квадратного уравнения.

Шаг 2. Упрощение структуры. Посмотрите, нет ли в уравнении конструкции $(\sqrt{f(x)})^2$ — если есть, замените её на $f(x)$ с учётом ОДЗ. Приведите все степени к общему основанию, разложите показатели суммы по свойству $a^{m+n}=a^m a^n$.

Шаг 3. Выбор стратегии.

• Если после упрощения обе части уравнения выражаются через одну и ту же комбинацию (например, обе части делятся на общий положительный множитель), разделите на него — уравнение сведётся к более простому виду.
• Если явной замены не видно, но структура «намекает» на противоположные свойства частей (одна часть — сумма квадратов/экспонент, ограниченная снизу, другая — константа или ограниченное сверху выражение), попробуйте метод оценки.

Шаг 4. Замена переменной. Введите $t$ (например, $t=2^{\cos^2x}$, $t=3^x$) и обязательно укажите область значений этой переменной, вытекающую из области значений исходной функции. Это критично: без этого можно получить посторонние корни.

Шаг 5. Решение алгебраического уравнения относительно $t$ — как правило, квадратного. Найдите его корни, отбросьте те, что не входят в область значений $t$.

Шаг 6. Возврат к переменной $x$. Решите простые уравнения вида $\cos x = c$ или $a^x=c$, запишите общее решение через параметр $k\in\mathbb{Z}$.

Шаг 7. Проверка по ОДЗ. Подставьте найденные серии решений в исходные ограничения и отбросьте лишнее.

Шаг 8. Отбор корней на отрезке (пункт б). Для тригонометрических серий составьте двойное неравенство для параметра $k$ и найдите целые значения. Если границы отрезка заданы числами с логарифмами, оцените их численно и сравните с конкретными найденными корнями.

Разбор примера

Пример 1.

Условие: а) решить уравнение $$\left(\sqrt{2^{\sin^2x+\sqrt{\cos x}}}\right)^2+2^{\cos^2x+\sqrt{\cos x}}=3\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}.$$ б) указать корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{11\pi}{2};-4\pi\right]$.

ОДЗ: под корнем стоит $\cos x$, значит $\cos x\ge 0$.

Упрощение. Применяем тождество $(\sqrt{f})^2=f$ к первому слагаемому (подкоренное выражение — степень с положительным основанием, оно всегда неотрицательно): $$2^{\sin^2x+\sqrt{\cos x}}+2^{\cos^2x+\sqrt{\cos x}}=3\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}.$$ Разбиваем степени по свойству $2^{m+n}=2^m\cdot 2^n$: $$2^{\sin^2x}\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}+2^{\cos^2x}\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}=3\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}.$$ Множитель $2^{\sqrt{\cos x}}>0$ есть в каждом слагаемом — делим на него обе части (потери корней нет, так как множитель никогда не равен нулю): $$2^{\sin^2x}+2^{\cos^2x}=3.$$

Замена. Пусть $t=\cos^2x\in[0,1]$, тогда $\sin^2x=1-t$: $$2^{1-t}+2^t=3.$$ Пусть $u=2^t$. Так как $t\in[0,1]$, то $u\in[1,2]$. Заметим, что $2^{1-t}=\dfrac{2}{u}$, поэтому: $$\frac{2}{u}+u=3 \;\Rightarrow\; u^2-3u+2=0 \;\Rightarrow\; (u-1)(u-2)=0.$$ Оба корня $u=1$ и $u=2$ входят в область $[1,2]$.

Возврат к $x$.

• $u=1\Rightarrow 2^t=1\Rightarrow t=0\Rightarrow \cos^2x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$. Проверяем ОДЗ: $\cos x=0\ge0$ — подходит.
• $u=2\Rightarrow t=1\Rightarrow \cos^2x=1\Rightarrow \cos x=\pm1$. По ОДЗ нужно $\cos x\ge0$, значит остаётся только $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k$.

Ответ а): $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\; x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

Отбор корней на отрезке $[-\tfrac{11\pi}{2};-4\pi]$.

Для серии $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: решаем неравенство $$-\frac{11\pi}{2}\le \frac{\pi}{2}+\pi k\le -4\pi \;\Rightarrow\; -6\le k\le -4{,}5.$$ Целые $k=-6,-5$ дают $x=-\dfrac{11\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{9\pi}{2}$.

Для серии $x=2\pi k$: решаем $$-\frac{11\pi}{2}\le 2\pi k\le -4\pi \;\Rightarrow\; -2{,}75\le k\le -2.$$ Единственное целое $k=-2$ даёт $x=-4\pi$.

Ответ б): $-\dfrac{11\pi}{2},\ -\dfrac{9\pi}{2},\ -4\pi$.

Пример 2.

Условие: а) решить уравнение $$3^{2x+1}-4\cdot 3^x+4=\left(\sqrt{-x^2-\frac{x}{2}+\frac12}\right)^2+x^2+\frac{x}{2}+\frac52.$$ б) указать корни на промежутке $\left[\log_2\dfrac16;\ \log_2\dfrac23\right]$.

ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно: $$-x^2-\frac{x}{2}+\frac12\ge 0 \;\Leftrightarrow\; 2x^2+x-1\le 0 \;\Leftrightarrow\; (2x-1)(x+1)\le 0 \;\Rightarrow\; x\in[-1;\,0{,}5].$$

Упрощение правой части. Снимаем квадрат корня по тождеству $(\sqrt f)^2=f$: $$\left(-x^2-\frac{x}{2}+\frac12\right)+x^2+\frac{x}{2}+\frac52=3.$$ Все переменные слагаемые сокращаются — правая часть равна константе $3$. Это типичный приём: конструкция специально построена так, чтобы после снятия корня сложное выражение схлопнулось в число.

Левая часть. Обозначим $y=3^x>0$. Так как $3^{2x+1}=3\cdot(3^x)^2=3y^2$, уравнение принимает вид: $$3y^2-4y+4=3 \;\Rightarrow\; 3y^2-4y+1=0.$$ Дискриминант $D=16-12=4$, корни: $$y=\frac{4\pm2}{6}\;\Rightarrow\; y=1\ \text{или}\ y=\frac13.$$

Возврат к $x$.

• $y=1\Rightarrow 3^x=1\Rightarrow x=0$.
• $y=\dfrac13\Rightarrow 3^x=3^{-1}\Rightarrow x=-1$.

Оба значения проверяем по ОДЗ $x\in[-1;0{,}5]$: $x=0$ подходит, $x=-1$ — граничная точка, тоже подходит (там подкоренное выражение равно нулю).

Ответ а): $\{0;\,-1\}$.

Отбор корней на промежутке. Оценим границы численно: $\log_2\dfrac16=-\log_2 6\approx-2{,}58$, $\log_2\dfrac23=1-\log_2 3\approx-0{,}58$. Значит промежуток примерно $[-2{,}58;\,-0{,}58]$.

Проверяем найденные корни: $x=0$ не входит (он больше $-0{,}58$), $x=-1$ входит, так как $-2{,}58\le -1\le -0{,}58$.

Ответ б): $-1$.

Типичные ошибки

• Забывают зафиксировать ОДЗ до преобразований — особенно там, где корень «прячется» под квадратом. Итог: лишний или потерянный корень.
• При замене переменной ($t=2^{\cos^2x}$, $y=3^x$) не указывают область значений новой переменной и берут «математически верные», но фактически посторонние корни квадратного уравнения.
• Делят обе части уравнения на общий множитель, не убедившись, что он всюду положителен (в примере 1 множитель $2^{\sqrt{\cos x}}$ действительно нигде не обращается в ноль, но это нужно явно проговорить).
• В методе оценки забывают, что равенство должно достигаться одновременно в обеих частях при одном и том же $x$ — то есть нужно решать систему, а не два уравнения по отдельности «на глаз».
• В пункте б) при отборе тригонометрических корней ошибаются в направлении неравенства при делении на $\pi$ с отрицательными границами, теряют или добавляют лишнее целое $k$.
• Не проверяют границы отрезка на включение (нестрогие неравенства), из-за чего теряют корень, совпадающий с концом отрезка.
• При работе с логарифмическими границами промежутка пытаются вычислить их «точно», хотя для отбора достаточно грубой оценки (например, сравнить с $-1$, $0$, $1$).

На что обратить внимание на экзамене

При первом взгляде на уравнение полезно сразу «сканировать» его на признаки смешанного типа: корень, возведённый в квадрат, — сигнал к применению тождества $(\sqrt f)^2=f$; сумма разных степеней с одинаковым «довеском» — сигнал к вынесению общего множителя; сочетание квадратичного выражения под корнем и такого же выражения без корня в другой части — сигнал к тому, что после снятия корня всё может схлопнуться в константу.

Пункты а) и б) оцениваются отдельно, поэтому даже если не получилось отобрать корни на отрезке, стоит довести до конца решение самого уравнения — это уже часть баллов. Обязательно фиксируйте ОДЗ в явном виде в самом решении: это входит в критерии оценивания, а не только служит для собственной проверки.

При отборе корней тригонометрических серий на отрезке удобно перевести обе границы и общий член серии к одному «шагу» (например, всё через $\pi/2$), чтобы двойное неравенство для параметра $k$ решалось без арифметических ошибок. Если границы промежутка заданы через логарифмы, не тратьте время на точное вычисление — достаточно оценить их относительно ближайших целых чисел или простых дробей, чтобы понять, какие из уже найденных корней туда попадают.

Наконец, после получения окончательного ответа полезно быстро подставить хотя бы один корень в исходное (не упрощённое) уравнение — это позволяет поймать ошибку, если в процессе преобразований случайно расширилось или сузилось ОДЗ.