Рациональные уравнения в задании 13 ЕГЭ: метод замены переменной

О чём эта подтема

Задание 13 профильного ЕГЭ часто включает рациональное уравнение, где переменная стоит и в числителе, и в знаменателе нескольких дробей. Такие уравнения нельзя решить простым переносом слагаемых — сначала нужно привести уравнение к общему знаменателю или обнаружить скрытую квадратичную структуру и ввести замену. Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) требуется найти все корни уравнения, в пункте б) — отобрать из них те, что попадают в заданный отрезок. Это значит, что даже правильно решённое уравнение не гарантирует баллы за весь номер: нужно аккуратно поработать с числовыми оценками корней.

Ключевая особенность подтемы — распознавание симметричной структуры вида $A + \frac{k}{A}$, которая после замены сводится к квадратному уравнению. Такие задачи регулярно встречаются в профильном экзамене, и умение быстро увидеть подстановку экономит время на экзамене.

Что нужно знать

Разберём набор фактов и приёмов, которые реально понадобятся.

• Определение ОДЗ: знаменатель дроби не может быть равен нулю. Все значения переменной, обращающие любой из знаменателей в нуль, исключаются из ответа.
• Приведение к общему знаменателю и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель — базовый приём для рациональных уравнений.
• Тождества квадрата разности и суммы: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Именно они позволяют выразить сумму квадратов через квадрат разности новой переменной.
• Метод замены переменной: если уравнение содержит выражения $\frac{u}{n} - \frac{k}{u}$ и связанную с ними сумму квадратов дробей, стоит ввести $y = \frac{u}{n} - \frac{k}{u}$ и выразить исходную сумму через $y^2$.
• Решение квадратного уравнения: формула корней $x = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$, $D=b^2-4ac$, и теорема Виета для быстрой проверки корней.
• После нахождения значения новой переменной нужно решить ещё одно квадратное уравнение — уже относительно исходной переменной, то есть решение состоит из двух «этажей».
• Обязательная проверка ОДЗ на финальном этапе — часть корней может не подходить.
• Для пункта б) — умение сравнивать иррациональные числа с целыми границами отрезка: оценка значений вида $\sqrt{22}$, $\sqrt{65}$ через соседние целые числа (например, $4<\sqrt{22}<5$).

Этих фактов достаточно — более сложная теория (тригонометрия, логарифмы) в этой подтеме не требуется.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения рационального уравнения такого типа:

1. Найдите ОДЗ — исключите значения переменной, обращающие знаменатели в нуль.
2. Проанализируйте структуру уравнения. Если видно, что квадраты дробей и линейные дроби связаны общим двучленом (например, $x-a$), введите новую переменную $u = x-a$, чтобы упростить запись.
3. Заметьте, что часть уравнения — сумма вида $\frac{u^2}{n} + \frac{k}{u^2}$, а другая часть — линейная комбинация вида $\frac{u}{n} - \frac{m}{u}$. Введите замену $y = \frac{u}{n} - \frac{m}{u}$.
4. Возведите $y$ в квадрат: $y^2 = \frac{u^2}{n^2} - \frac{2m}{n} + \frac{m^2}{u^2}$. Подберите множитель, чтобы выразить именно ту сумму квадратов, что стоит в уравнении.
5. Подставьте выражение через $y^2$ в исходное уравнение — получится квадратное уравнение относительно $y$.
6. Решите его через дискриминант, найдите $y_1, y_2$.
7. Для каждого значения $y$ составьте уравнение $\frac{u}{n} - \frac{m}{u} = y$, умножьте на $nu$ и получите квадратное уравнение относительно $u$.
8. Решите каждое из двух квадратных уравнений, найдите значения $u$, затем переведите их в $x$ через обратную замену.
9. Проверьте все найденные корни на соответствие ОДЗ.
10. Если требуется пункт б), отберите корни, попадающие в заданный отрезок, оценив иррациональные значения численно.

Этот алгоритм эффективен: он сводит уравнение высокой степени (после умножения на общий знаменатель) к двум последовательным квадратным уравнениям, что значительно проще прямого раскрытия скобок.

Разбор примера

Пример 1. Решить уравнение $$\frac{(x-2)^2}{2} + \frac{18}{(x-2)^2} = 7\left(\frac{x-2}{2} - \frac{3}{x-2}\right) + 10,$$ а затем найти корни, принадлежащие отрезку $[-2;2]$.

Шаг 1. ОДЗ. Знаменатели $(x-2)^2$ и $x-2$ не равны нулю при $x\neq 2$.

Шаг 2. Замена. Введём $u = x-2$. Уравнение примет вид $$\frac{u^2}{2}+\frac{18}{u^2}=7\left(\frac{u}{2}-\frac{3}{u}\right)+10.$$

Шаг 3. Вторая замена. Введём $y=\frac{u}{2}-\frac{3}{u}$. Тогда $$y^2=\frac{u^2}{4}-3+\frac{9}{u^2}.$$ Умножим на 2: $$2y^2=\frac{u^2}{2}-6+\frac{18}{u^2}\ \Rightarrow\ \frac{u^2}{2}+\frac{18}{u^2}=2y^2+6.$$

Шаг 4. Квадратное уравнение относительно $y$. Подставим в исходное уравнение: $$2y^2+6=7y+10\ \Rightarrow\ 2y^2-7y-4=0.$$ Дискриминант: $D=49+32=81$, $\sqrt{D}=9$. Корни: $$y_1=\frac{7+9}{4}=4,\qquad y_2=\frac{7-9}{4}=-\frac12.$$

Шаг 5. Возврат к $u$: случай $y=4$. $$\frac{u}{2}-\frac{3}{u}=4\ \Rightarrow\ u^2-6=8u\ \Rightarrow\ u^2-8u-6=0.$$ $D=64+24=88$, $u=4\pm\sqrt{22}$. Тогда $x=u+2=6\pm\sqrt{22}$.

Шаг 6. Случай $y=-\frac12$. $$\frac{u}{2}-\frac{3}{u}=-\frac12\ \Rightarrow\ u^2-6=-u\ \Rightarrow\ u^2+u-6=0.$$ Разложим: $(u+3)(u-2)=0$, значит $u=-3$ или $u=2$. Тогда $x=-1$ или $x=4$.

Шаг 7. Проверка ОДЗ. Все найденные значения ($-1$; $4$; $6-\sqrt{22}$; $6+\sqrt{22}$) не равны 2, значит подходят.

Ответ пункта а): $\{-1;\,4;\,6-\sqrt{22};\,6+\sqrt{22}\}$.

Шаг 8. Пункт б) — отбор корней на $[-2;2]$. Оценим: $\sqrt{22}\approx4.69$, тогда $6-\sqrt{22}\approx1.31$ (входит в отрезок), $6+\sqrt{22}\approx10.69$ (не входит). Корень $-1$ входит в отрезок, корень $4$ не входит.

Ответ пункта б): $\{-1;\,6-\sqrt{22}\}$.

Пример 2 решается тем же методом. Уравнение $$\frac{(x+3)^2}{5}+\frac{20}{(x+3)^2}=8\left(\frac{x+3}{5}-\frac{2}{x+3}\right)+1$$ после замены $u=x+3$ и $y=\frac{u}{5}-\frac{2}{u}$ даёт $y^2=\frac{u^2}{25}-\frac{4}{5}+\frac{4}{u^2}$, откуда $5y^2=\frac{u^2}{5}-4+\frac{20}{u^2}$, то есть $\frac{u^2}{5}+\frac{20}{u^2}=5y^2+4$. Подставив в уравнение, получаем $5y^2+4=8y+1$, то есть $5y^2-8y+3=0$, корни $y_1=1$, $y_2=\frac{3}{5}$. Далее для каждого $y$ составляется квадратное уравнение относительно $u$, решается и переводится в $x=u-3$. В итоге корни: $\{-5;\,2;\,-\frac{1+\sqrt{65}}{2};\,\frac{-1+\sqrt{65}}{2}\}$, а на отрезке $[-6;-4]$ лежат $-5$ и $-\frac{1+\sqrt{65}}{2}$ (так как $\sqrt{65}\approx8.06$, значит $-\frac{1+\sqrt{65}}{2}\approx-4.53$).

Типичные ошибки

• Забывают исключить из ответа значение, при котором знаменатель обращается в нуль (в примерах — $x=2$ и $x=-3$).
• Ошибаются в коэффициенте при переходе от $y^2$ к исходной сумме квадратов — забывают домножить на 2 (или на 5), из-за чего получается неверное квадратное уравнение относительно $y$.
• Путают знак при удвоенном произведении, применяя формулу квадрата суммы вместо квадрата разности (или наоборот).
• После нахождения $u$ забывают сделать обратную замену и записывают в ответ значения $u$ вместо $x$.
• В пункте б) сравнивают иррациональные корни с границами отрезка «на глаз», без честной численной оценки, и теряют или добавляют лишний корень.
• Допускают арифметическую ошибку в дискриминанте одного из двух квадратных уравнений, что приводит к неверным корням на «втором этаже» решения.
• Не проверяют, что все найденные корни удовлетворяют исходному уравнению и ОДЗ, особенно после умножения на выражения с переменной.

На что обратить внимание на экзамене

Сразу выписывайте ОДЗ, прежде чем начинать преобразования: это экономит время и не даёт забыть об исключении корня. Ищите общую линейную часть в знаменателях (в примерах это $x-2$ и $x+3$) и вводите для неё отдельную букву — так уравнение визуально проще. При возведении новой переменной в квадрат аккуратно следите за коэффициентом, на который нужно домножить $y^2$, чтобы он совпал с суммой в исходном уравнении: лучше выписать это отдельным равенством, а не держать в голове. Оба квадратных уравнения (относительно $y$ и относительно $u$) решайте через дискриминант, не пытаясь угадывать корни, чтобы не потерять точность. В пункте б) обязательно оценивайте иррациональные значения численно, через соседние квадраты целых чисел, а не интуитивно, и сверяйте каждое найденное значение с границами отрезка. Записывайте промежуточные значения ($u$, затем $x$) явно, чтобы не перепутать этажи замены при переносе ответа в бланк.