Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения

Шаг 1. Область определения. Знаменатель $x+\sqrt{13}$ не должен быть равен нулю, поэтому $x\neq-\sqrt{13}$.

Шаг 2. Убираем знаменатели. Обе части уравнения имеют одинаковый знаменатель $x+\sqrt{13}$, значит при выполнении ОДЗ можно умножить обе части на него — знаменатели исчезают, и уравнение сводится к равенству числителей: $$(x^2-x-12)^2=(2x^2+x-27)^2.$$

Шаг 3. Свойство равенства квадратов. Если $a^2=b^2$, то $a=b$ или $a=-b$. Применяем это к $a=x^2-x-12$, $b=2x^2+x-27$.

Случай 1: $x^2-x-12=2x^2+x-27$ ⟹ $x^2+2x-15=0$ ⟹ по формуле корней квадратного уравнения $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+60}}{2}=\dfrac{-2\pm8}{2}$, отсюда $x=3$ или $x=-5$.

Случай 2: $x^2-x-12=-(2x^2+x-27)$ ⟹ $3x^2-39=0$ ⟹ $x^2=13$ ⟹ $x=\pm\sqrt{13}$.

Шаг 4. Проверка ОДЗ. Корень $x=-\sqrt{13}$ обращает знаменатель в ноль, значит он не подходит. Остаются $x=-5,\;3,\;\sqrt{13}$ — это ответ пункта а).

Шаг 5. Отбор корней на отрезке. Нужно понять, какие из чисел $-5,\,3,\,\sqrt{13}$ лежат в $[\sqrt{15}-1;\ \sqrt{17}-1]$.

Оценим границы: так как $9<15<16$, то $3<\sqrt{15}<4$, откуда $2<\sqrt{15}-1<3$. Аналогично $16<17<25$ даёт $4<\sqrt{17}<5$, значит $3<\sqrt{17}-1<4$. Таким образом весь отрезок лежит в пределах $(2;4)$, поэтому $x=-5$ сразу отбрасывается.

Осталось сравнить $\sqrt{13}$ и $3$ с границами. Покажем, что $\sqrt{17}-1<\sqrt{13}$: это равносильно $\sqrt{17}<\sqrt{13}+1$, после возведения в квадрат — $17<13+2\sqrt{13}+1=14+2\sqrt{13}$, то есть $3<2\sqrt{13}$. Поскольку $\sqrt{13}>3$ (так как $13>9$), неравенство верно, значит $\sqrt{13}$ больше правой границы отрезка и не входит в него.

Число $x=3$ проверяем напрямую: $\sqrt{15}-1\approx2{,}87<3$ и $3<\sqrt{17}-1\approx3{,}12$, значит $3$ попадает в отрезок.

Итог: из всех найденных корней в указанный промежуток входит только $x=3$.