Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения

Область определения: $x\neq-3$.

Введём новую переменную $t=\dfrac{x+3}{5}-\dfrac{2}{x+3}$. Возведём её в квадрат: $$t^2=\frac{(x+3)^2}{25}-\frac{4}{5}+\frac{4}{(x+3)^2}.$$ Отсюда $\dfrac{(x+3)^2}{25}+\dfrac{4}{(x+3)^2}=t^2+\dfrac45$.

Левая часть исходного уравнения $\dfrac{(x+3)^2}{5}+\dfrac{20}{(x+3)^2}$ получается умножением этого выражения на 5: $$\frac{(x+3)^2}{5}+\frac{20}{(x+3)^2}=5\left(t^2+\frac45\right)=5t^2+4.$$ Правая часть по определению $t$ равна $8t+1$. Значит уравнение принимает вид $$5t^2+4=8t+1\;\Leftrightarrow\;5t^2-8t+3=0.$$ Корни этого квадратного уравнения: $t=1$ и $t=\dfrac35$ (по формуле дискриминанта: $D=64-60=4$).

Теперь возвращаемся к $x$. Пусть $u=x+3\ (u\neq0)$.

Случай $t=1$: $\dfrac{u}{5}-\dfrac2u=1\Rightarrow u^2-5u-10=0$. Дискриминант $25+40=65$, поэтому $u=\dfrac{5\pm\sqrt{65}}{2}$, то есть $x=u-3=\dfrac{-1\pm\sqrt{65}}{2}$.

Случай $t=\dfrac35$: $\dfrac{u}{5}-\dfrac2u=\dfrac35\Rightarrow u^2-3u-10=0=(u-5)(u+2)$, откуда $u=5$ или $u=-2$, то есть $x=2$ или $x=-5$.

Все найденные значения удовлетворяют условию $x\neq-3$, значит все четыре — корни уравнения.

Пункт б). Нужно выбрать корни из $[-6;-4]$. Корни $2$ и $\dfrac{-1+\sqrt{65}}{2}$ положительны, они не подходят. Значение $x=-5$ лежит в отрезке. Для корня $x=\dfrac{-1-\sqrt{65}}{2}$ оценим его: так как $8<\sqrt{65}<9$, то $-6<\dfrac{-1-9}{2}<\dfrac{-1-\sqrt{65}}{2}<\dfrac{-1-8}{2}<-4$, то есть он тоже принадлежит отрезку $[-6;-4]$.