ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Рациональные уравнения

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Рациональные уравненияВведение замены

а)  Решите уравнение дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =7 левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби правая круглая скобка минус 1.

 

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 2;\:3 правая квадратная скобка .

В подтеме 5 задач
Разбор
Главная идея: Заметить, что левая часть уравнения представляет собой удвоенный квадрат выражения из правой части плюс константа, и сделать замену t=x−14−2x−1t=\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{2}{x-1}, сводя уравнение к квадратному относительно tt.
  1. ОДЗ: x≠1x\neq 1.
  2. Введём замену t=x−14−2x−1t=\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{2}{x-1} — так как в правой части уравнения стоит именно это выражение, а левая часть похожа на квадрат разности. Действительно, t2=(x−1)216−1+4(x−1)2t^2=\dfrac{(x-1)^2}{16}-1+\dfrac{4}{(x-1)^2}, откуда 2t2+2=(x−1)28+8(x−1)22t^2+2=\dfrac{(x-1)^2}{8}+\dfrac{8}{(x-1)^2} — это в точности левая часть исходного уравнения.
  3. Подставляем: 2t2+2=7t−12t^2+2=7t-1, то есть 2t2−7t+3=02t^2-7t+3=0. По формуле корней квадратного уравнения t=7±49−244=7±54t=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}=\dfrac{7\pm5}{4}, отсюда t=12t=\dfrac12 или t=3t=3.
  4. Возвращаемся к переменной xx. Для t=12t=\dfrac12: x−14−2x−1=12\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac12. Умножаем на 4(x−1)4(x-1) (при x≠1x\neq1): (x−1)2−8=2(x−1)(x-1)^2-8=2(x-1), то есть x2−4x−5=0x^2-4x-5=0, корни x=−1,  x=5x=-1,\;x=5.
  5. Для t=3t=3: x−14−2x−1=3\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{2}{x-1}=3, умножаем на 4(x−1)4(x-1): (x−1)2−8=12(x−1)(x-1)^2-8=12(x-1), то есть x2−14x+5=0x^2-14x+5=0. Дискриминант 196−20=176=16⋅11196-20=176=16\cdot11, корни x=7±211x=7\pm2\sqrt{11}.
  6. Все четыре найденные значения не равны 1, поэтому входят в ОДЗ и являются корнями исходного уравнения: x=−1; 5; 7−211; 7+211x=-1;\,5;\,7-2\sqrt{11};\,7+2\sqrt{11}.
  7. Для отбора корней на [−2;3][-2;3] оценим числа: −2<−1<3-2<-1<3 — подходит; 5>35>3 — не подходит; 7−211≈0,377-2\sqrt{11}\approx0{,}37 лежит между −2-2 и 33 — подходит; 7+211≈13,67+2\sqrt{11}\approx13{,}6 — не подходит.
  8. Итог: на отрезке [−2;3][-2;3] лежат корни x=−1x=-1 и x=7−211x=7-2\sqrt{11}.

Типичные ошибки

  • Не заметить связь между левой и правой частью и пытаться раскрывать все скобки напрямую, получая уравнение высокой степени
  • Забыть учесть ОДЗ x≠1x\neq1 при возврате к переменной xx
  • Неверно оценить числовые значения корней при отборе на отрезок, особенно для иррациональных корней 7±2117\pm2\sqrt{11}
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)