Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения

Заметим, что $x^2-12+\dfrac{36}{x^2}=\left(x-\dfrac{6}{x}\right)^2$, так как при возведении разности в квадрат получаются именно эти три слагаемых. Также внесём 2 в скобки: $2\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{x}\right)=x-\dfrac{6}{x}$.

Таким образом всё уравнение зависит только от выражения $x-\dfrac{6}{x}$. Введём замену $t=x-\dfrac{6}{x}$ (при этом обязательно $x\neq0$, иначе выражение не определено). Уравнение принимает вид $t^2+t=0$, то есть $t(t+1)=0$, откуда $t=0$ или $t=-1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $x-\dfrac{6}{x}=0\ \Rightarrow\ x^2-6=0\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt6$ (умножили на $x\neq0$).
2. $x-\dfrac{6}{x}=-1\ \Rightarrow\ x^2+x-6=0\ \Rightarrow\ (x+3)(x-2)=0\ \Rightarrow\ x=-3$ или $x=2$.

Все корни удовлетворяют условию $x\neq0$, значит все они подходят: $-\sqrt6,\ -3,\ 2,\ \sqrt6$.

Для пункта б) оценим числовые значения: $\sqrt6\approx2,45$, поэтому $-3<-2,5<-\sqrt6<2<\sqrt6$. Это значит, что в отрезок $[-2{,}5;\,2]$ попадают только $-\sqrt6$ и $2$, а $-3$ и $\sqrt6$ выходят за границы.