Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения

Замена переменной. Пусть $t=\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{3}{x-2}$, при этом $x\neq2$. Возведём в квадрат: $$t^2=\frac{(x-2)^2}{4}-2\cdot\frac{x-2}{2}\cdot\frac{3}{x-2}+\frac{9}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)^2}{4}-3+\frac{9}{(x-2)^2}.$$ Отсюда $\dfrac{(x-2)^2}{4}+\dfrac{9}{(x-2)^2}=t^2+3$, а умножив на 2, получаем именно те выражения, что стоят в левой части исходного уравнения: $$\frac{(x-2)^2}{2}+\frac{18}{(x-2)^2}=2t^2+6.$$ Значит уравнение переписывается как $2t^2+6=7t+10$, то есть $2t^2-7t-4=0$. По формуле корней квадратного уравнения $D=49+32=81$, $t=\dfrac{7\pm9}{4}$, откуда $t=-\dfrac12$ или $t=4$.

Возврат к $x$. При $t=-\dfrac12$: $\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{3}{x-2}=-\dfrac12$. Умножая на $2(x-2)$ (при $x\ne2$), получаем $(x-2)^2+ (x-2)-6=0$, то есть $x^2-3x-4=0$, корни $x=-1,\;x=4$ — оба удовлетворяют $x\neq2$.

При $t=4$: $\dfrac{x-2}{2}-\dfrac{3}{x-2}=4$, аналогично $(x-2)^2-8(x-2)-6=0$, то есть $x^2-12x+14=0$, корни $x=6\pm\sqrt{22}$, оба не равны 2.

Все четыре значения — решения исходного уравнения: $\{-1;4;6-\sqrt{22};6+\sqrt{22}\}$.

Отбор корней из $[-2;2]$. Поскольку $4<\sqrt{22}<5$, имеем $0<6-\sqrt{22}<2$ и $6+\sqrt{22}>10$. Значит из четырёх корней в отрезок попадают $x=-1$ и $x=6-\sqrt{22}$, а $x=4$ и $x=6+\sqrt{22}$ выходят за его пределы.