Задание 13 ЕГЭ: тригонометрические уравнения, сводимые к однородным

О чём эта подтема

Однородные тригонометрические уравнения — один из самых надёжных типов задания 13, потому что решаются по чёткому алгоритму без перебора вариантов. Уравнение называется однородным относительно $\sin x$ и $\cos x$ (или относительно $\sin kx$ и $\cos kx$), если каждое его слагаемое имеет одинаковую суммарную «степень» по синусу и косинусу.

В чистом виде такие уравнения выглядят так:

$$a\sin x+b\cos x=0 \quad \text{(однородное первой степени)}$$

$$a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2 x=0 \quad \text{(однородное второй степени)}$$

Но в реальных заданиях ЕГЭ уравнение редко дано в готовом однородном виде. Обычно там присутствует свободное число (константа), $\sin 2x$, $\cos 2x$ или другие выражения, которые нужно предварительно преобразовать, чтобы получить однородную структуру. Именно умение «увидеть» скрытую однородность и грамотно её выделить — ключевой навык этой подтемы.

Что нужно знать

Для решения таких уравнений достаточно небольшого, но точного набора формул и приёмов.

1. Формула синуса двойного угла: $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ Это слагаемое имеет вторую степень (по сумме степеней синуса и косинуса), поэтому оно естественно вписывается в однородное уравнение второй степени.

2. Основное тригонометрическое тождество как способ «размножить» единицу: $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ Если в уравнении есть свободный член (число), его нужно заменить на $1\cdot(\sin^2x+\cos^2x)$ (или на кратное этому выражению), чтобы все слагаемые стали одной степени.

3. Формула косинуса двойного угла (иногда нужна для обратного перехода): $$\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$$

4. Деление на $\cos^n x$ (или $\cos^n kx$) и переход к тангенсу. Это центральная техника: однородное уравнение делится на старшую степень косинуса, после чего появляется уравнение относительно $\tan x$.

5. Обязательная проверка случая $\cos x=0$ перед делением. Это не формальность, а необходимый шаг, без которого можно потерять корни.

6. Решение простейших уравнений с тангенсом: $$\tan x=a \;\Rightarrow\; x=\arctan a+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

7. Умение решать квадратные уравнения (для однородных второй степени после замены $t=\tan x$).

Этого набора достаточно для решения практически всех задач этого типа в части «а». Для части «б» дополнительно нужен навык отбора корней на заданном промежутке — через подбор целых значений параметра $k$ в общем решении.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения уравнений, сводимых к однородным, состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Определить, что уравнение можно привести к однородному виду. Признаки: в уравнении встречаются $\sin^2x$, $\cos^2x$, $\sin x\cos x$ (или $\sin 2x$), а также, возможно, свободный член. Если структура похожа на «квадратичную форму» относительно синуса и косинуса — перед вами кандидат на этот метод.

Шаг 2. Привести все слагаемые к одной степени.

• Слагаемое $\sin 2x$ раскладывается как $2\sin x\cos x$ — это уже вторая степень.
• Свободное число $c$ заменяется на $c(\sin^2x+\cos^2x)$, чтобы получить слагаемые второй степени по $\sin x$ и $\cos x$.
• После этого переносим всё в одну сторону и приводим подобные слагаемые.

В результате должно получиться уравнение вида: $$A\sin^2x+B\sin x\cos x+C\cos^2x=0$$

Шаг 3. Проверить случай $\cos x=0$. Подставляем $\cos x=0$ (тогда $\sin^2x=1$) в полученное уравнение. Если равенство не выполняется — этот случай не даёт корней, и можно спокойно делить уравнение на $\cos^2x$. Если равенство выполняется — значения $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ нужно включить в ответ отдельно, а далее делить уравнение уже нельзя без потери этих корней (их запоминаем отдельно и добавляем в конце).

Шаг 4. Разделить уравнение на $\cos^2x$ (при условии, что $\cos x\neq0$ подтверждено). Получаем: $$A\tan^2x+B\tan x+C=0$$

Шаг 5. Ввести замену $t=\tan x$ и решить квадратное уравнение. Находим корни $t_1$ и $t_2$.

Шаг 6. Вернуться к переменной $x$ через формулу $x=\arctan t+\pi k$ для каждого найденного значения $t$.

Шаг 7 (для части «б»). Подставить в общие формулы решений конкретные целые значения $k$ и найти, какие из полученных чисел попадают в заданный отрезок или промежуток. Удобно решить двойное неравенство относительно $k$ для каждой серии корней отдельно.

Если уравнение однородное первой степени (только $\sin$ и $\cos$ в первой степени, без квадратов), схема упрощается: проверяем $\cos x=0$, затем делим на $\cos x$ и получаем линейное уравнение относительно $\tan x$.

Разбор примера

Пример 1

Условие: а) Решите уравнение $2\cos^2x+2\sin2x=3$. б) Укажите корни, принадлежащие промежутку $\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. Приведение к однородному виду.

Раскроем $\sin2x=2\sin x\cos x$: $$2\cos^2x+4\sin x\cos x=3$$

Заменим $3=3(\sin^2x+\cos^2x)$: $$2\cos^2x+4\sin x\cos x=3\sin^2x+3\cos^2x$$

Переносим всё влево: $$4\sin x\cos x-3\sin^2x-\cos^2x=0$$

Удобнее работать с положительным старшим коэффициентом при $\sin^2x$, умножим на $-1$: $$3\sin^2x-4\sin x\cos x+\cos^2x=0$$

Это однородное уравнение второй степени.

Шаг 2. Проверка $\cos x=0$.

Если $\cos x=0$, то $\sin^2x=1$, и уравнение принимает вид $3\cdot1-0+0=3\neq0$. Равенство не выполняется, значит, случай $\cos x=0$ корней не даёт, и делить на $\cos^2x$ можно без потерь.

Шаг 3. Деление на $\cos^2x$.

$$3\tan^2x-4\tan x+1=0$$

Шаг 4. Замена $t=\tan x$.

$$3t^2-4t+1=0$$

Дискриминант: $D=16-12=4$, $\sqrt D=2$.

$$t_1=\frac{4+2}{6}=1,\qquad t_2=\frac{4-2}{6}=\frac13$$

Шаг 5. Возврат к $x$.

При $t=1$: $\tan x=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$.

При $t=\dfrac13$: $\tan x=\dfrac13 \Rightarrow x=\arctan\dfrac13+\pi k$.

Ответ на пункт а): $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\arctan\frac13+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Пункт б). Отбор корней на $\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Для серии $x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k$: подставляем целые значения $k$.

При $k=-1$: $x=\dfrac{\pi}{4}-\pi=-\dfrac{3\pi}{4}\approx-2{,}36$. Проверяем: $-\dfrac{3\pi}{2}\approx-4{,}71$, $-\dfrac{\pi}{2}\approx-1{,}57$. Значение $-2{,}36$ попадает в этот отрезок.

При $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}79$ — не подходит.

При $k=-2$: $x=\dfrac{\pi}{4}-2\pi\approx-5{,}50$ — не подходит.

Для серии $x=\arctan\dfrac13+\pi k$, где $\arctan\dfrac13\approx0{,}32$:

При $k=-1$: $x\approx0{,}32-3{,}14=-2{,}82$ — попадает в отрезок.

При $k=0$ и $k=-2$ значения выходят за границы отрезка.

Ответ на пункт б): $x=-\dfrac{3\pi}{4}$ и $x=\arctan\dfrac13-\pi$.

Пример 2

Условие: а) Решите уравнение $\sqrt3\sin2x+3\cos2x=0$. б) Найдите корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

Здесь уравнение уже однородное первой степени относительно $\sin2x$ и $\cos2x$ (обе переменные в первой степени, свободного члена нет).

Шаг 1. Проверка $\cos2x=0$.

Если $\cos2x=0$, то $\sin2x=\pm1\neq0$, а уравнение требует $\sqrt3\sin2x=0$. Противоречие — значит, $\cos2x=0$ корней не даёт, деление допустимо.

Шаг 2. Деление на $\cos2x$.

$$\sqrt3\tan2x+3=0 \;\Rightarrow\; \tan2x=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3$$

Шаг 3. Решение простейшего уравнения.

$$2x=-\frac{\pi}{3}+\pi k \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}$$

Ответ на пункт а): $x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б). Отбор корней на $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

Решаем двойное неравенство: $$\frac{3\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}\le 3\pi$$

Прибавим $\dfrac{\pi}{6}$ ко всем частям: $$\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\le\frac{\pi k}{2}\le 3\pi+\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{10\pi}{6}\le\frac{\pi k}{2}\le\frac{19\pi}{6}$$

Умножим на $\dfrac{2}{\pi}$: $$\frac{10}{3}\le k\le\frac{19}{3}$$

То есть $3{,}33\le k\le6{,}33$, значит подходят целые $k=4,5,6$.

При $k=4$: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}$.

При $k=5$: $x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{7\pi}{3}$.

При $k=6$: $x=-\dfrac{\pi}{6}+3\pi=\dfrac{17\pi}{6}$.

Ответ на пункт б): $\dfrac{11\pi}{6};\ \dfrac{7\pi}{3};\ \dfrac{17\pi}{6}$.

Типичные ошибки

Деление на $\cos x$ без проверки. Самая частая и самая опасная ошибка — сразу делить уравнение на $\cos^2x$ или $\cos x$, не проверив, не является ли $\cos x=0$ решением. Если этот случай подходит, а его не проверили, теряется целая серия корней, и часть «а» засчитывается неверно.

Неверное приведение свободного члена. При переносе числа $c$ через $c(\sin^2x+\cos^2x)$ иногда забывают, что коэффициент $c$ нужно распределить на оба слагаемых, а не просто «дописать» единицу. Ошибка в коэффициентах ломает всё дальнейшее решение.

Путаница со знаком при переносе слагаемых. После приведения к однородному виду легко ошибиться знаком у среднего слагаемого $\sin x\cos x$, особенно если исходное уравнение содержало вычитание. Стоит выполнять перенос по одному слагаемому и перепроверять итоговое уравнение подстановкой удобного значения угла.

Ошибки при решении квадратного уравнения относительно $\tan x$. Из-за спешки часто неверно вычисляют дискриминант или корни, особенно если коэффициенты дробные. Рекомендуется проверять корни обратной подстановкой в квадратное уравнение.

Неверный отбор корней в части «б». Частая ошибка — подставлять значения $k$ «на глаз», без решения неравенства. Правильный путь — составить двойное неравенство для $k$ и решить его точно, а не подбором приближённых десятичных значений, которые могут ввести в заблуждение на границах отрезка.

Забытая серия корней при $\cos x=0$. Если проверка показала, что $\cos x=0$ действительно является решением, эту серию $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ нужно обязательно включить в окончательный ответ вместе с остальными корнями.

На что обратить внимание на экзамене

При встрече с уравнением, где фигурируют $\sin2x$, $\cos2x$, квадраты синуса и косинуса или свободный член на фоне тригонометрических слагаемых второй степени, в первую очередь стоит задать себе вопрос: можно ли привести всё к одной степени по $\sin x$ и $\cos x$. Это экономит время по сравнению с попытками угадать другой метод.

Перед делением на косинус всегда фиксируйте письменно проверку случая $\cos x=0$ — это буквально одна строка, но она защищает от потери баллов за неполный ответ. Такую же проверку нужно делать и для уравнений с $2x$, $3x$ и другими аргументами — проверяется обращение в ноль косинуса именно того аргумента, на который планируется деление.

В части «б» не полагайтесь на приближённые вычисления в уме — переводите отбор корней в решение неравенства относительно параметра $k$. Это даёт точный и проверяемый результат, а также позволяет не пропустить и не добавить лишний корень на границе промежутка.

Обращайте внимание на форму записи ответа: серии корней с $\arctan$ нередко оставляют именно в таком виде, не пытаясь «угадать» табличное значение угла, если оно не является стандартным (как $\arctan\frac13$ в первом примере). Попытка найти несуществующее табличное значение только удлиняет решение и повышает риск ошибки.

Наконец, после получения ответа полезно сделать быструю проверку: подставить один найденный корень в исходное (ещё не преобразованное) уравнение и убедиться, что равенство выполняется. Это особенно важно после деления и приведения к однородному виду, поскольку такие преобразования иногда сопровождаются потерей или появлением посторонних корней.