Задание 13 ЕГЭ: тригонометрические уравнения с ОДЗ

О чём эта подтема

Задание 13 профильного ЕГЭ часто включает не просто тригонометрическое уравнение, а конструкцию с дробью, корнем или тангенсом/котангенсом, где часть значений переменной запрещена. Такие уравнения нельзя решать «в лоб»: сначала нужно определить область допустимых значений (ОДЗ), а уже потом искать корни и отбирать среди них те, что не противоречат ограничениям.

Особенность этой подтемы в том, что ошибка почти никогда не в самом уравнении — школьники обычно верно решают квадратное относительно $\sin x$ или $\cos x$, верно раскладывают на множители. Проблема в другом: забывают про знаменатель, забывают про подкоренное выражение, забывают, что $\tan x$ и $\cot x$ определены не всегда. В результате в ответе оказываются лишние корни или, наоборот, теряются нужные. Именно поэтому ОДЗ — отдельный, полноценный этап решения, а не формальная приписка «очевидно, что...».

Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно решить уравнение целиком (получить общую серию корней), в пункте б) — отобрать из этой серии корни, принадлежащие конкретному отрезку. Второй пункт технически проще первого, но именно в нём чаще всего допускают арифметические ошибки при подборе целых значений параметра.

Что нужно знать

Для решения уравнений этого типа достаточно твёрдо знать несколько фактов.

1. Условия существования выражений.

• Дробь $\dfrac{A}{B}$ определена, когда $B\neq 0$.
• Корень чётной степени $\sqrt{B}$ определён, когда $B\ge 0$; если корень стоит в знаменателе, требуется строгое неравенство $B>0$.
• $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ определён при $\cos x\neq 0$, то есть $x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi n$.
• $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ определён при $\sin x\neq 0$, то есть $x\neq \pi n$.

2. Основные тригонометрические тождества, которые пригождаются для упрощения ОДЗ и самого уравнения: $$\sin^2x+\cos^2x=1,\qquad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.$$

3. Решения простейших уравнений: $$\sin x=a\ (|a|\le1)\ \Rightarrow\ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\cos x=a\ (|a|\le1)\ \Rightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\tan x=a\ \Rightarrow\ x=\arctan a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$ Для табличных значений ($\sin x=-\tfrac12$, $\tan x=-\sqrt3$ и т. п.) полезно сразу помнить готовые серии, не выводя их через арксинус/арктангенс каждый раз.

4. Понимание того, что значит «уравнение равно нулю». Произведение или дробь равны нулю тогда и только тогда, когда равен нулю числитель (или один из множителей), при условии что знаменатель (или подкоренное выражение в знаменателе) при этом не равен нулю. Это ключевой логический момент: ОДЗ находится один раз в начале, а дальше на этой области ищутся нули числителя.

5. Расположение точек на числовой окружности и на числовой прямой — умение быстро оценивать, при каком целом $k$ значение вида $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ попадает в заданный отрезок. Это чисто техническое умение, но именно оно определяет успех в пункте б).

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения тригонометрического уравнения с ОДЗ всегда одинаков, независимо от конкретной конструкции.

Шаг 1. Найти ОДЗ. Выписать все ограничения: знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны (или строго положительны, если корень в знаменателе), аргументы тангенса и котангенса определены. Если ограничений несколько, их нужно объединить через систему (все условия должны выполняться одновременно).

Часто ОДЗ удобно упростить с помощью тождеств. Например, выражение $-\cos x\tan x$ раскладывается как $-\sin x$ (при $\cos x\neq0$), и неравенство сводится к простому условию на синус.

Шаг 2. Решить уравнение без учёта ОДЗ. Преобразовать уравнение к виду, где можно применить замену переменной (например, $t=\sin x$ или $t=\cos x$), разложить на множители, свести к произведению простых сомножителей, каждый из которых затем приравнивается к нулю.

Шаг 3. Отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ. Это критический шаг. Каждое найденное значение $t$ (или полученную серию $x$) нужно проверить на соответствие ограничениям из шага 1. Если ОДЗ сформулирована как неравенство на $\sin x$ или $\cos x$ (например, $-1<\sin x<0$), достаточно проверить, попадает ли найденное значение $t$ в этот промежуток — не нужно возвращаться к переменной $x$.

Шаг 4. Записать общий ответ (серии корней) — это пункт а).

Шаг 5. Для пункта б) отобрать корни на заданном отрезке. Для каждой серии вида $x=x_0+2\pi k$ (или с периодом $\pi$) нужно решить двойное неравенство относительно целого $k$: $$a\le x_0+2\pi k\le b \quad\Rightarrow\quad \frac{a-x_0}{2\pi}\le k\le \frac{b-x_0}{2\pi},$$ и выбрать целые значения $k$ из этого промежутка. Полезно сразу переводить границы отрезка в приближённые десятичные значения (например, $2\pi\approx6.28$, $7\pi/2\approx10.99$), чтобы визуально контролировать попадание.

Разбор примера

Пример 1

Условие: а) решить уравнение $$\frac{2\sin^2x-\sin x-1}{\sqrt{-\cos x\tan x}}=0;$$ б) найти корни на отрезке $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ. Дробь определена и не равна нулю в знаменателе только тогда, когда подкоренное выражение строго больше нуля (корень в знаменателе — нужна строгая положительность): $$-\cos x\tan x>0.$$ При $\cos x\neq0$ раскрываем тангенс: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, тогда $$-\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=-\sin x>0 \ \Rightarrow\ \sin x<0.$$ Отдельно проверяем крайний случай $\sin x=-1$: тогда $\cos x=0$ и $\tan x$ не определён, значит это значение нужно исключить. Итоговое ОДЗ: $$-1<\sin x<0.$$

Шаг 2. Решаем уравнение на этой области. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю: $$2\sin^2x-\sin x-1=0.$$ Замена $t=\sin x$ даёт квадратное уравнение $2t^2-t-1=0$, корни которого $t=1$ и $t=-\dfrac12$ (по теореме Виета или через дискриминант $D=1+8=9$).

Шаг 3. Отбор по ОДЗ. Условие $-1<\sin x<0$ отсекает $t=1$ (не входит в промежуток) и оставляет $t=-\dfrac12$ (входит, так как $-1<-\tfrac12<0$).

Шаг 4. Решаем $\sin x=-\dfrac12$: $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\pi+\frac{\pi}{6}+2\pi k,$$ что удобнее записать как $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$ Это ответ пункта а).

Шаг 5. Отбор корней на $[2\pi;\,7\pi/2]$ (приближённо $[6.28;\,10.99]$). Проверяем первую серию: при $k=1$ получаем $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi=\dfrac{19\pi}{6}\approx9.95$ — попадает в отрезок. При $k=0$ значение $\dfrac{7\pi}{6}\approx3.67$ — не попадает, при $k=2$ значение $\dfrac{7\pi}{6}+4\pi\approx16.2$ — тоже нет. Проверяем вторую серию: при $k=1$ значение $\dfrac{11\pi}{6}+2\pi=\dfrac{23\pi}{6}\approx12.04$ — уже больше правой границы $10.99$, не подходит; при $k=0$ значение $\dfrac{11\pi}{6}\approx5.76$ — меньше левой границы. Единственный подходящий корень: $\dfrac{19\pi}{6}$.

Пример 2

Условие: а) решить уравнение $$(\cos x-1)(\tan x+\sqrt3)\sqrt{\cos x}=0;$$ б) найти корни на отрезке $\left[3\pi;\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ. Под корнем должно быть $\cos x\ge0$; кроме того, для существования $\tan x$ нужно $\cos x\neq0$. Совмещая условия, получаем строгую область: $$\cos x>0.$$

Шаг 2. Решаем уравнение на этой области. Произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей (при $\cos x>0$ множитель $\sqrt{\cos x}$ никогда не равен нулю, поэтому он не даёт корней): $$\cos x-1=0 \quad\text{или}\quad \tan x+\sqrt3=0.$$

Случай 1: $\cos x=1$. Отсюда $x=2\pi k$. Проверка ОДЗ: $\cos(2\pi k)=1>0$ — подходит при любом $k$.

Случай 2: $\tan x=-\sqrt3$. Отсюда $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$. Нужно проверить знак косинуса для чётных и нечётных $n$ отдельно.

• При чётном $n=2k$: $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12>0$ — подходит.
• При нечётном $n=2k+1$: $x=-\dfrac{\pi}{3}+\pi+2\pi k=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac12<0$ — не подходит.

Значит, из второго случая остаётся только серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$.

Шаг 3. Ответ пункта а): $$x=2\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 4. Отбор корней на $[3\pi;\,9\pi/2]$ (приближённо $[9.42;\,14.14]$). Серия $x=2\pi k$: при $k=2$ получаем $x=4\pi\approx12.57$ — попадает в отрезок; при $k=1$ ($2\pi\approx6.28$) и $k=3$ ($6\pi\approx18.85$) — вне отрезка. Серия $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$: при $k=2$ получаем $x=-\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{11\pi}{3}\approx11.52$ — попадает; при $k=1$ ($\dfrac{5\pi}{3}\approx5.24$) и $k=3$ ($\dfrac{17\pi}{3}\approx17.8$) — вне отрезка. Итоговый ответ пункта б): $\dfrac{11\pi}{3},\ 4\pi$.

Типичные ошибки

Игнорирование ОДЗ до конца решения. Часто уравнение решают полностью, а про ограничения вспоминают в последний момент — и либо забывают проверить, либо проверяют неверно, подставляя приближённые значения вместо точного анализа знака.

Путаница между $\ge0$ и $>0$. Если корень стоит в числителе, подкоренное выражение может быть равно нулю. Если корень стоит в знаменателе — только строго больше нуля. Эта деталь регулярно приводит к появлению лишнего или, наоборот, отсутствующего корня.

Забытое ограничение на тангенс и котангенс. Когда в уравнении встречается $\tan x$ или $\cot x$, необходимо помнить про запрет соответственно на $\cos x=0$ или $\sin x=0$, даже если это не выражено явно в условии.

Неполная проверка крайних значений. Как в примере 1, значение $\sin x=-1$ формально удовлетворяет неравенству $\sin x\le0$, но обращает $\cos x$ в ноль, что делает $\tan x$ не определённым. Такие «пограничные» случаи нужно проверять отдельно, не полагаясь только на нестрогое неравенство.

Ошибки в подборе целых $k$ для пункта б). Частая причина потери или добавления лишнего корня — арифметическая ошибка при вычислении границ для $k$ или неаккуратное сравнение дробей с $\pi$. Полезно всегда переводить границы отрезка и найденные корни в приближённые десятичные значения для визуального контроля.

Смешение серий корней. Если уравнение распадается на два случая (например, $\cos x=1$ и $\tan x=-\sqrt3$), нельзя объединять их в одну формулу «для скорости» — у серий разные периоды и разные стартовые точки, объединение приводит к потере части ответов.

На что обратить внимание на экзамене

Начинайте решение именно с поиска ОДЗ, а не с преобразования уравнения — так вы сразу зафиксируете рамки, в которых будете работать, и не забудете про них к концу решения. Записывайте ОДЗ явно, отдельной строкой, даже если оно кажется очевидным.

При проверке найденных значений $t=\sin x$ или $t=\cos x$ на соответствие ОДЗ работайте именно с этой переменной, а не переходите обратно к иксу без необходимости — это экономит время и снижает риск ошибки.

В пункте б) всегда переводите все числа (границы отрезка, значения корней) в приближённые десятичные дроби через $\pi\approx3.14$ — это позволяет быстро и надёжно проверить попадание в отрезок, не полагаясь на интуицию.

Если уравнение содержит несколько множителей или несколько условий ОДЗ, решайте каждый случай отдельно и до конца, прежде чем переходить к следующему. Не объединяйте промежуточные результаты преждевременно.

Перед записью окончательного ответа обязательно ещё раз подставьте (хотя бы для одного значения параметра из каждой серии) найденный корень в исходное уравнение — это лучший способ поймать ошибку в ОДЗ или в алгебраических преобразованиях.