ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13

а)  Решите уравнение дробь: числитель: 2 синус в квадрате x минус синус x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: минус косинус x умножить на тангенс x конец аргумента конец дроби = 0.

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

В подтеме 53 задач
Разбор
Главная идея: Найти ОДЗ через требование положительности подкоренного выражения (−sin⁡x>0-\sin x>0, cos⁡x≠0\cos x\neq0), затем решить числитель как квадратное относительно sin⁡x\sin x уравнение и отобрать корни, удовлетворяющие ОДЗ, после чего выбрать нужные значения на заданном отрезке.

  1. ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным (знаменатель не может быть нулём): −cos⁡xtan⁡x>0-\cos x\tan x>0. Заменим tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} (при cos⁡x≠0\cos x\neq0): −cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=−sin⁡x>0-\cos x\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\sin x>0, то есть sin⁡x<0\sin x<0. При sin⁡x=−1\sin x=-1 имеем cos⁡x=0\cos x=0, и tan⁡x\tan x не определён — этот случай исключаем. Итог: −1<sin⁡x<0-1<\sin x<0.

  2. На этой области дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2x-\sin x-1=0. Пусть t=sin⁡xt=\sin x: 2t2−t−1=0⇒t=12t^2-t-1=0\Rightarrow t=1 или t=−12t=-\dfrac12.

  3. Проверяем по ОДЗ (−1<sin⁡x<0-1<\sin x<0): значение t=1t=1 не подходит, остаётся sin⁡x=−12\sin x=-\dfrac12.

  4. Решаем это простейшее уравнение: x=−π6+2πkx=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k или x=π+π6+2πkx=\pi+\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, то есть x=7π6+2πk,  x=11π6+2πk, k∈Zx=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\; x=\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z} — это ответ пункта а).

  5. Для пункта б) ищем корни на отрезке [2π; 7π/2][2\pi;\,7\pi/2]. Подставляя целые kk в обе серии, проверяем попадание в отрезок: при k=1k=1 в первой серии x=7π6+2π=19π6≈9.95x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi=\dfrac{19\pi}{6}\approx9.95, что лежит в [2π≈6.28; 7π/2≈10.99][2\pi\approx6.28;\,7\pi/2\approx10.99]. Остальные значения (из второй серии и других kk) выходят за пределы отрезка. Значит единственный подходящий корень — 19π6\dfrac{19\pi}{6}.

Типичные ошибки

  • Забывают, что под корнем должно быть строго больше нуля (а не ≥0\geq0), и включают лишний корень sin⁡x=−1\sin x=-1.
  • Не учитывают ограничение cos⁡x≠0\cos x\neq0, из-за чего в ОДЗ ошибочно попадают точки, где tan⁡x\tan x не существует.
  • При отборе корней на отрезке путают, какие значения kk дают попадание в интервал, и включают лишние или пропускают нужный корень.
Непонятно?

Похожие задачи