Задача 699433. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

ОДЗ. Выражение под корнем должно быть строго положительным (знаменатель не может быть нулём): $-\cos x\tan x>0$. Заменим $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ (при $\cos x\neq0$): $-\cos x\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\sin x>0$, то есть $\sin x<0$. При $\sin x=-1$ имеем $\cos x=0$, и $\tan x$ не определён — этот случай исключаем. Итог: $-1<\sin x<0$.

На этой области дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $2\sin^2x-\sin x-1=0$. Пусть $t=\sin x$: $2t^2-t-1=0\Rightarrow t=1$ или $t=-\dfrac12$.

Проверяем по ОДЗ ($-1<\sin x<0$): значение $t=1$ не подходит, остаётся $\sin x=-\dfrac12$.

Решаем это простейшее уравнение: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, то есть $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi k,\; x=\dfrac{11\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ — это ответ пункта а).

Для пункта б) ищем корни на отрезке $[2\pi;\,7\pi/2]$. Подставляя целые $k$ в обе серии, проверяем попадание в отрезок: при $k=1$ в первой серии $x=\dfrac{7\pi}{6}+2\pi=\dfrac{19\pi}{6}\approx9.95$, что лежит в $[2\pi\approx6.28;\,7\pi/2\approx10.99]$. Остальные значения (из второй серии и других $k$) выходят за пределы отрезка. Значит единственный подходящий корень — $\dfrac{19\pi}{6}$.