Задание 13 ЕГЭ: тригонометрические уравнения — разные задачи по профильной математике

О чём эта подтема

Задание 13 профильного ЕГЭ по математике почти всегда состоит из двух пунктов: а) нужно решить тригонометрическое уравнение и записать общий ответ с параметром $k\in\mathbb{Z}$; б) нужно указать корни, которые попадают в заданный отрезок. Уравнения в этой подтеме собраны «разные» — то есть заранее неизвестно, будет это однородное уравнение, уравнение с формулами приведения, с разложением на множители или комбинация всего перечисленного. Поэтому здесь важна не одна конкретная формула, а гибкость: умение быстро узнать структуру уравнения и свести её к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Особенность именно этой подтемы в том, что чаще всего в условии встречаются аргументы вида $\frac{\pi}{2}-x$ или $x-\frac{\pi}{2}$, кубы синуса или косинуса, а также произведения и суммы тригонометрических функций. Задача — увидеть за этим "нестандартным" видом обычное уравнение, решаемое разложением на множители, и аккуратно довести решение до числового ответа с проверкой отбора корней.

Что нужно знать

Для решения таких уравнений достаточен ограниченный набор фактов, но применять их нужно точно.

Формулы приведения. Чаще всего используются: $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x, \qquad \sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x, \qquad \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x.$$ Знак и функция определяются по правилу: при сдвиге на $\frac{\pi}{2}$ функция меняется на кофункцию (синус на косинус и наоборот), а знак берётся по правилу приведения к первой четверти.

Связь тангенса с синусом и косинусом. $$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \quad \text{ОДЗ: } \cos x\ne 0.$$ Любое уравнение с тангенсом требует контроля ОДЗ на каждом шаге.

Основное тождество и формулы двойного угла. $$\sin^2 x+\cos^2 x=1, \qquad \cos 2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1.$$ Эти формулы часто помогают перейти от $\sin^2 x$ или $\cos^2 x$ к $\cos 2x$ и решить уравнение через двойной угол.

Общие решения простейших уравнений: $$\sin x=a \ \Rightarrow\ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\cos x=a \ \Rightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ $$\tan x=a \ \Rightarrow\ x=\arctan a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$ Для табличных значений (0, $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt3}{2}$, 1) ответы записываются через конкретные углы, а не через арксинус/арккосинус — это стандартная форма ответа в задании 13.

Разложение на множители. Большинство «разных» уравнений сводится к виду $A(x)\cdot B(x)=0$, где каждый множитель — простейшее тригонометрическое уравнение. Уравнение $A\cdot B=0$ верно тогда и только тогда, когда $A=0$ или $B=0$, при условии, что оба выражения определены (то есть входят в ОДЗ).

Отбор корней на отрезке. Нужно уметь переводить условие «$x$ принадлежит отрезку $[a;b]$» в неравенство относительно целого параметра $k$ и решать это неравенство, а не подбирать корни на глаз.

Как решать: метод и алгоритм

1. Найти ОДЗ. Если в уравнении есть тангенс, котангенс или дробь — выписать условие $\cos x\ne 0$ (или $\sin x\ne 0$) до начала преобразований.
2. Привести всё к общему виду. Применить формулы приведения, чтобы разные аргументы (например, $\frac{\pi}{2}-x$) превратились в один и тот же аргумент $x$.
3. Перенести всё в одну часть и разложить на множители. Часто помогает вынесение общего множителя ($\sin x$, $\cos x$) или замена $\cos 2x$ через $\sin^2 x$/$\cos^2 x$.
4. Решить каждое простейшее уравнение отдельно, получив несколько серий корней с параметром $k$.
5. Проверить ОДЗ для каждой серии. Если при решении делили обе части на $\cos x$ или $\sin x$, убедиться, что в найденных сериях это выражение действительно не равно нулю (иногда проверка не нужна — например, если $\cos(\pi k)=\pm1\ne0$ автоматически).
6. Записать общий ответ как объединение всех допустимых серий.
7. Для пункта б) перевести границы отрезка в доли $\pi$, для каждой серии $x=x_0+\frac{\pi}{m}k$ составить двойное неравенство $a\le x_0+\frac{\pi}{m}k\le b$, разделить всё на $\frac{\pi}{m}$, найти целые значения $k$, подставить их обратно и получить конкретные числовые корни.
8. Отобранные корни расставить по возрастанию и выписать в ответ, ещё раз проверив, что каждый из них действительно лежит в границах отрезка (включая граничные точки, если отрезок закрытый).

Этот алгоритм работает для любого уравнения из этой подтемы, независимо от того, насколько «нестандартно» оно выглядит на первый взгляд — суть всегда сводится к разложению на множители и аккуратному отбору корней.

Разбор примера

Пример 1. Решить уравнение $2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tan x$, затем указать корни на отрезке $\left[-2\pi;\,-\frac{\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ: $\cos x\ne 0$.

Шаг 2. Приведение. По формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$, поэтому уравнение становится $$2\sin x=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Шаг 3. Разложение на множители. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: $$2\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}=0 \ \Rightarrow\ \sin x\left(2-\frac{1}{\cos x}\right)=0 \ \Rightarrow\ \frac{\sin x(2\cos x-1)}{\cos x}=0.$$ При учтённом ОДЗ ($\cos x\ne0$) это равносильно $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

Шаг 4. Решение серий. $$\sin x=0 \ \Rightarrow\ x=\pi k.$$ Проверка ОДЗ: $\cos(\pi k)=(-1)^k\ne0$ — подходит для любого $k$. $$\cos x=\frac12 \ \Rightarrow\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k.$$ Обе серии удовлетворяют ОДЗ.

Ответ а): $x=\pi k;\ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$

Шаг 5. Отбор корней на $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$. Переведём границы в доли $\pi$: отрезок $[-2\pi;-0{,}5\pi]$.

Для серии $x=\pi k$: неравенство $-2\pi\le \pi k\le-\frac{\pi}{2}$ равносильно $-2\le k\le -0{,}5$, то есть $k=-2$ или $k=-1$. Получаем $x=-2\pi$ и $x=-\pi$.

Для серии $x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$: $-2\le \frac13+2k\le-0{,}5 \ \Rightarrow\ -\frac{7}{6}\le k\le-\frac{5}{12}$. Целых $k$ в этом промежутке нет, кроме проверки $k=-1$: $\frac13-2=-\frac53$, что меньше $-\frac{7}{6}\approx-1{,}17$? Проверим напрямую подстановкой: при $k=-1$ получаем $x=\frac{\pi}{3}-2\pi=-\frac{5\pi}{3}\approx-5{,}236$, это лежит между $-2\pi\approx-6{,}283$ и $-\frac{\pi}{2}\approx-1{,}571$ — значит корень подходит. (Здесь удобнее проверять подстановкой конкретных $k$, а не только через дробное неравенство.)

Для серии $x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k$: при $k=0$ получаем $x=-\frac{\pi}{3}\approx-1{,}047$ — это больше $-\frac{\pi}{2}$, не входит в отрезок. При $k=-1$: $x=-\frac{\pi}{3}-2\pi\approx-7{,}33$ — меньше $-2\pi$, тоже не входит. Значит, эта серия корней на отрезке не даёт.

Ответ б): $x=-2\pi;\ -\frac{5\pi}{3};\ -\pi.$

Пример 2. Решить уравнение $4\sin^3x=3\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$, найти корни на отрезке $\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. Приведение. $\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$, поэтому уравнение принимает вид $$4\sin^3x=3\sin x.$$

Шаг 2. Разложение на множители. $$4\sin^3x-3\sin x=0 \ \Rightarrow\ \sin x\left(4\sin^2x-3\right)=0.$$ Отсюда $\sin x=0$ или $\sin^2x=\frac34$.

Шаг 3. Решение первого случая. $\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k.$

Шаг 4. Решение второго случая. Используем формулу двойного угла: $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}=\frac34 \Rightarrow \cos2x=-\frac12.$ Тогда $$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \ \Rightarrow\ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k.$$ Запись $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$ и $x=-\frac{\pi}{3}+\pi k$ можно объединить: серия $x=-\frac{\pi}{3}+\pi k$ совпадает с серией $x=\frac{2\pi}{3}+\pi k$ при сдвиге индекса на единицу, поэтому итоговый ответ удобно записать так: $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k, \qquad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ а): $x=\pi k;\ \frac{\pi}{3}+\pi k;\ \frac{2\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$

Шаг 5. Отбор на $\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$, то есть на $[3{,}5\pi;4{,}5\pi]$.

Для $x=\pi k$: $3{,}5\le k\le4{,}5 \Rightarrow k=4 \Rightarrow x=4\pi.$

Для $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$: $3{,}5-\frac13\le k\le4{,}5-\frac13 \Rightarrow 3{,}1\overline{6}\le k\le4{,}1\overline{6} \Rightarrow k=4 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+4\pi=\frac{13\pi}{3}.$

Для $x=\frac{2\pi}{3}+\pi k$: $3{,}5-\frac23\le k\le4{,}5-\frac23 \Rightarrow 2{,}8\overline{3}\le k\le3{,}8\overline{3} \Rightarrow k=3 \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+3\pi=\frac{11\pi}{3}.$

Ответ б): $x=\frac{11\pi}{3};\ 4\pi;\ \frac{13\pi}{3}.$

Типичные ошибки

• Деление обеих частей уравнения на $\sin x$ или $\cos x$ без рассмотрения случая, когда этот множитель равен нулю — так теряются корни. Правильный путь: перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель, а не делить.
• Игнорирование ОДЗ при работе с тангенсом: часть найденных корней может обращать знаменатель в ноль, и такие значения нужно исключить.
• Ошибки знака при применении формул приведения — например, путают $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ и $\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$ с формулами для синуса от аналогичных аргументов, где появляется минус.
• Неверное объединение серий: например, забывают, что $x=-\frac{\pi}{3}+\pi k$ и $x=\frac{2\pi}{3}+\pi k$ описывают одно и то же множество точек, и записывают ответ с лишними или, наоборот, задвоенными сериями.
• Ошибки при переводе неравенства для отбора корней в целые значения $k$ — округление в неверную сторону, потеря корня на границе отрезка.
• Забывают проверять границы отрезка на включение/исключение — если отрезок закрытый с обеих сторон, граничная точка, совпадающая с корнем, обязательно входит в ответ.
• Арифметические ошибки при работе с дробями вида $\frac{7\pi}{2}$, $\frac{13\pi}{3}$ — рекомендуется всегда переводить границы отрезка и шаг серии в общие доли $\pi$, чтобы сравнивать было проще.

На что обратить внимание на экзамене

• Пункт а) оценивается по полноте обоснования: важно показать все шаги преобразования, а не просто написать финальный ответ с сериями корней.
• В пункте б) нужно явно выписать неравенство для отбора и решение относительно параметра $k$, а не «угадывать» подходящие значения — это часть критериев оценивания.
• Всегда проверяйте, что каждый отобранный корень действительно лежит внутри отрезка, подставив числовое значение (особенно если отрезок задан в виде дробей от $\pi$, легко ошибиться на глаз).
• Обращайте внимание на тип отрезка — открытый или закрытый, включает ли границы; при закрытом отрезке граничная точка, совпадающая с корнем, должна попасть в ответ.
• Если в уравнении встречается тангенс или котангенс, ОДЗ нужно контролировать на всех этапах, а не только в начале — некоторые преобразования (умножение, деление) могут случайно расширить или сузить множество решений.
• Полезно после получения общего ответа кратко проверить один-два корня подстановкой в исходное уравнение — это позволяет быстро заметить ошибку в преобразованиях.
• При оформлении ответа сериям корней удобно давать компактную форму, объединяя похожие серии, если это возможно, — это упрощает последующий отбор корней на отрезке.