Иррациональные уравнения в задании 13 ЕГЭ: разбор и алгоритм

О чём эта подтема

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня (обычно квадратного или кубического). В задании 13 профильного ЕГЭ такие уравнения встречаются регулярно, часто в паре с тригонометрическими или показательными уравнениями. Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно найти все корни уравнения, а в пункте б) — отобрать из них те, что принадлежат заданному отрезку (числовому промежутку, иногда заданному через логарифмы или другие корни).

Сложность иррациональных уравнений не в громоздких вычислениях, а в контроле области допустимых значений и в умении делать равносильные преобразования, чтобы не потерять и не приобрести лишние корни. Именно на этом чаще всего теряют баллы: уравнение решено правильно, но не проверено, какие корни реально подходят.

Что нужно знать

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Под знаком квадратного корня выражение должно быть неотрицательным: $$\sqrt{f(x)} \text{ существует} \iff f(x) \ge 0.$$ Для кубического корня (и любого корня нечётной степени) ограничений на подкоренное выражение нет — оно может быть любым.

2. Равносильные переходы для уравнений с корнями. Это ключевой инструмент, который избавляет от лишней проверки:

• Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе $$\begin{cases} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$$ Второе условие достаточно проверить только для одной из частей — если $g(x)\ge 0$ и $f(x)=g(x)$, то автоматически $f(x)\ge 0$.

• Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе $$\begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$$ Условие $g(x)\ge 0$ обязательно: возведение в квадрат может «превратить» отрицательное число в положительное и добавить посторонний корень.

3. Метод введения новой переменной. Если в уравнении многократно встречается один и тот же корень (например, $\sqrt{x-1}$), удобно обозначить его новой буквой $t \ge 0$ и выразить через неё исходную переменную. Это превращает иррациональное уравнение в обычное алгебраическое (чаще квадратное).

4. Проверка знака при возведении в чётную степень. Возведение обеих частей уравнения в квадрат — операция необратимая без дополнительных условий: из $a=b$ следует $a^2=b^2$, но не наоборот. Поэтому после возведения в квадрат всегда нужно либо иметь условие неотрицательности правой части, либо делать прямую подстановку найденных корней в исходное уравнение.

5. Умение работать с корнями многочленов степени 3 и выше. После преобразований часто получается кубическое уравнение вида $x^3 = a$, которое решается однозначно ($x=\sqrt[3]{a}$), либо уравнение, разложимое на множители через подбор корня и деление многочлена.

6. Сравнение чисел для пункта б). Границы отрезка в пункте б) часто заданы через логарифмы или корни. Нужно уметь оценивать их числовые значения (например, через известные неравенства или монотонность функций), чтобы понять, какие из найденных корней уравнения попадают в промежуток.

Как решать: метод и алгоритм

Общий алгоритм для пункта а):

1. Определить вид уравнения. Есть ли под корнями одинаковые или связанные выражения — тогда подойдёт замена переменной. Если корень стоит один раз и сравнивается с многочленом — используем формулу равносильного перехода.

2. Записать ОДЗ или условие неотрицательности в явном виде — как часть системы, а не как отдельную проверку «в уме».

3. Избавиться от корня. Возвести обе части в соответствующую степень (квадрат — для квадратного корня, куб — для кубического, для куба условие неотрицательности не нужно).

4. Решить получившееся рациональное (алгебраическое) уравнение. Обычно это квадратное, кубическое уравнение или уравнение высокой степени, раскладываемое на множители.

5. Отобрать корни, удовлетворяющие всем условиям системы (ОДЗ, неотрицательность правой части и т.д.), либо подставить каждый найденный корень в исходное уравнение для проверки.

Для пункта б):

6. Оценить границы заданного промежутка численно (перевести логарифмы, корни, дроби в приближённые десятичные значения, используя монотонность соответствующих функций).

7. Проверить каждый найденный в пункте а) корень на принадлежность этому промежутку и выписать только подходящие значения.

Разбор примера

Пример 1.

а) Решить уравнение $\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1} = \sqrt{x^4+2x^2}$.

Это уравнение вида $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$, поэтому применяем равносильный переход: $$\begin{cases} x^4+8x^3+2x^2-1 = x^4+2x^2, \\ x^4+2x^2 \ge 0. \end{cases}$$

Второе условие выполняется для любого $x$, так как $x^4\ge 0$ и $2x^2\ge 0$ — сумма двух неотрицательных чисел неотрицательна всегда. Значит, оно не накладывает ограничений, и можно решать только первое уравнение.

Приводим подобные: $$x^4+8x^3+2x^2-1 = x^4+2x^2$$ $$8x^3+2x^2-1-2x^2=0$$ $$8x^3-1=0$$ $$x^3=\frac{1}{8}$$ $$x=\frac{1}{2}.$$

Поскольку кубическое уравнение $x^3=a$ имеет ровно один действительный корень, других решений нет. Проверим подстановкой: при $x=\frac12$ правая часть под корнем равна $\left(\frac12\right)^4+2\left(\frac12\right)^2=\frac1{16}+\frac12=\frac{9}{16}\ge 0$ — условие выполнено.

Ответ а): $x=\dfrac12$.

б) Нужно проверить, принадлежит ли корень $x=\dfrac12$ отрезку $[\log_3 0{,}5;\ \log_3 2]$.

Заметим, что $\log_3 0{,}5 = \log_3 \dfrac12 = -\log_3 2$. Так как $\log_3 2 \approx 0{,}63$, то отрезок примерно равен $[-0{,}63;\ 0{,}63]$. Число $0{,}5$ лежит внутри этого промежутка (по модулю меньше $\log_3 2$, что легко проверить, сравнив $2$ и $3^{0{,}5}=\sqrt3\approx1{,}73$: так как $2>\sqrt3$, то $\log_3 2 > 0{,}5$).

Ответ б): $x=\dfrac12$.

Пример 2.

а) Решить уравнение $x-3\sqrt{x-1}+1=0$.

Здесь под корнем стоит выражение $x-1$, и переменная $x$ в остальной части уравнения связана с ним линейно. Это классический случай замены переменной. Введём: $$t=\sqrt{x-1}, \quad t\ge 0, \qquad x=t^2+1.$$

Подставим в уравнение: $$x+1-3\sqrt{x-1}=0 \;\Rightarrow\; (t^2+1)+1-3t=0 \;\Rightarrow\; t^2-3t+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$: $$t^2-3t+2=0 \;\Rightarrow\; (t-1)(t-2)=0 \;\Rightarrow\; t=1 \text{ или } t=2.$$

Оба значения удовлетворяют условию $t\ge0$, значит, оба подходят. Возвращаемся к переменной $x$:

• при $t=1$: $x=1^2+1=2$;
• при $t=2$: $x=2^2+1=5$.

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

• $x=2$: $2-3\sqrt{1}+1=2-3+1=0$ — верно;
• $x=5$: $5-3\sqrt{4}+1=5-6+1=0$ — верно.

Ответ а): $x=2;\ x=5$.

б) Нужно определить, какие из этих корней принадлежат отрезку $[\sqrt3;\ \sqrt{20}]$.

Оценим границы: $\sqrt3\approx1{,}73$, $\sqrt{20}\approx4{,}47$. Значит, отрезок примерно равен $[1{,}73;\ 4{,}47]$.

Проверяем корни:

• $x=2$ — попадает в промежуток, так как $1{,}73<2<4{,}47$;
• $x=5$ — не попадает, так как $5>4{,}47$ (это можно проверить точнее: $5^2=25>20$, значит $5>\sqrt{20}$).

Ответ б): $x=2$.

Типичные ошибки

Игнорирование ОДЗ или условия неотрицательности. Самая частая ошибка — возвести уравнение в квадрат и решить получившееся рациональное уравнение, не проверив, что правая часть неотрицательна (или что подкоренные выражения неотрицательны). Это приводит к появлению посторонних корней, которые снижают оценку за задание.

Отсутствие проверки корней. Даже если равносильный переход выполнен верно, полезно подставить каждый найденный корень в исходное уравнение — особенно если преобразования были длинными. Это страхует от арифметических ошибок.

Пропуск замены переменной там, где она упрощает решение. Иногда школьники пытаются возвести уравнение в квадрат «напрямую», хотя выражение под корнем повторяется несколько раз и явно просится в замену. Это увеличивает степень многочлена и усложняет вычисления.

Неверное сравнение границ отрезка в пункте б). Логарифмы и корни в границах промежутка нужно аккуратно оценивать численно или через свойства монотонности, а не «на глаз». Ошибка в оценке границы приводит к неверному отбору корней даже при правильно решённом пункте а).

Потеря корня при делении на выражение с переменной. Если при упрощении уравнения происходит деление обеих частей на выражение, содержащее $x$, нужно отдельно рассмотреть случай, когда это выражение равно нулю — иначе можно потерять решение.

Неверная работа с кубическим корнем. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для любого действительного числа, и уравнение $x^3=a$ имеет ровно одно действительное решение — не нужно искать дополнительные условия на знак.

На что обратить внимание на экзамене

При оформлении решения на экзамене важно явно показывать переход к системе (ОДЗ или условие неотрицательности) — это часть критериев оценивания, а не формальность. Эксперт должен увидеть, что переход равносильный, а не просто «возвели в квадрат».

В пункте б) отдельно выделяйте оценку границ отрезка: если граница задана через логарифм или корень, кратко покажите числовую оценку (например, сравнение с известными значениями или возведение в степень для сравнения корней). Это экономит время и снижает риск арифметической ошибки.

Перед тем как приступать к возведению в степень, проверьте, нельзя ли упростить уравнение заменой переменной — это часто сокращает объём вычислений и снижает риск потери корней.

Обязательно завершайте решение проверкой найденных корней подстановкой в исходное (а не преобразованное) уравнение — особенно если в процессе решения были возведения в чётную степень. Эта проверка занимает немного времени, но полностью исключает ошибку с посторонними корнями.

Следите за тем, чтобы ответ в пункте а) содержал все найденные корни, а в пункте б) — только те, что действительно принадлежат заданному промежутку с учётом того, включены ли границы (квадратные скобки) или не включены (круглые скобки).