Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

Уравнение: $x-3\sqrt{x-1}+1=0$, ОДЗ: $x\ge1$.

Шаг 1. Перенесём корень отдельно: $x+1=3\sqrt{x-1}$. Так изолируем радикал, чтобы дальше избавиться от него возведением в квадрат.

Шаг 2. Возведение в квадрат — необратимая операция, поэтому нужно условие неотрицательности той части, которую возводим в квадрат без корня: $x+1\ge0$. Если $x+1<0$, равенство невозможно, так как справа стоит неотрицательное число (значение корня умножено на 3). При $x\ge1$ это условие выполняется автоматически, но проверка обязательна по логике метода.

Шаг 3. При $x+1\ge0$ возводим обе части в квадрат: $(x+1)^2=9(x-1)$ $x^2+2x+1=9x-9$ $x^2-7x+10=0$.

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение через дискриминант или подбор корней по теореме Виета: $D=49-40=9$, $x=\dfrac{7\pm3}{2}$, значит $x=2$ или $x=5$.

Шаг 5. Проверяем ОДЗ и условие $x+1\ge0$: оба значения $x=2,\ x=5$ больше 1, значит подходят. Корни уравнения: $x=2,\ x=5$.

Пункт б). Нужно отобрать корни на отрезке $[\sqrt3;\sqrt{20}]$. Оценим границы: $\sqrt3\approx1{,}73<2$, а $\sqrt{20}\approx4{,}47<5$. Значит отрезок находится строго между 1,73 и 4,47. Корень $x=2$ попадает в этот промежуток, а $x=5$ — уже больше правой границы, значит не входит.

Итог: на отрезке лежит только корень $x=2$.