Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

Шаг 1. ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а из вида $\sqrt{x-4}$ следует $x\ge4$.

Шаг 2. Замена. Введём $y=\sqrt{x-4}\ge0$, тогда $x=y^2+4$. Подставим в подкоренные выражения: $$x+4\sqrt{x-4}=y^2+4+4y=(y+2)^2,\qquad x-4\sqrt{x-4}=y^2+4-4y=(y-2)^2.$$ Это удобно, потому что квадратные трёхчлены оказались полными квадратами.

Шаг 3. Переход к модулям. Уравнение принимает вид $$\sqrt{(y+2)^2}+\sqrt{(y-2)^2}=4 \iff |y+2|+|y-2|=4.$$

Шаг 4. Раскрытие модулей. Так как $y\ge0$, то $y+2>0$, значит $|y+2|=y+2$. Уравнение превращается в $$y+2+|y-2|=4 \iff |y-2|=2-y.$$ Равенство $|a|=-a$ верно только при $a\le0$ (левая часть всегда $\ge0$, значит и правая должна быть $\ge0$, а по определению модуля это происходит именно когда сам $a\le0$). Здесь $a=y-2$, значит условие $y-2\le0$, то есть $y\le2$.

Шаг 5. Возврат к x. С учётом $y\ge0$ получаем $0\le y\le2$, то есть $0\le\sqrt{x-4}\le2$. Возводя в квадрат (обе части неотрицательны, неравенство сохраняется): $0\le x-4\le4$, откуда $4\le x\le8$. Это и есть решение пункта а).

Шаг 6. Пункт б). Сравним границы отрезка $[2\sqrt3+1;10]$ с найденным множеством $[4;8]$. Заметим цепочку неравенств: $$4=\sqrt9+1<\sqrt{12}+1=2\sqrt3+1<\sqrt{49}+1=8<10.$$ Значит левая граница $2\sqrt3+1$ лежит внутри отрезка $[4;8]$, а правая граница отрезка $10$ выходит за его пределы. Поэтому пересечением решений уравнения с заданным отрезком будет $[2\sqrt3+1;\,8]$.