Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

Шаг 1. Приводим уравнение к виду без переноса корня. Исходное уравнение $\sqrt{x^3+4x^2+9}-3=x$ перепишем как $$\sqrt{x^3+4x^2+9}=x+3.$$ Так делаем, чтобы справа стояло целое выражение, а слева — только корень, и можно было возвести в квадрат.

Шаг 2. Используем равносильный переход для корня. Равенство $\sqrt{A}=B$ равносильно системе $\{B\ge0,\ A=B^2\}$ — это гарантирует, что мы не потеряем условие неотрицательности правой части (иначе после возведения в квадрат могут появиться лишние корни). Здесь $B=x+3\ge0$, то есть $x\ge-3$, и уравнение $$x^3+4x^2+9=(x+3)^2=x^2+6x+9.$$

Шаг 3. Решаем полученное алгебраическое уравнение. $$x^3+4x^2+9-x^2-6x-9=0\Rightarrow x^3+3x^2-6x=0\Rightarrow x(x^2+3x-6)=0.$$ Отсюда $x=0$ или $x^2+3x-6=0$, корни последнего: $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{33}}{2}$.

Шаг 4. Отбираем корни по условию $x\ge-3$. $x=0$ подходит. Для квадратного уравнения $\dfrac{-3-\sqrt{33}}{2}\approx-4{,}37<-3$ — не подходит, а $\dfrac{-3+\sqrt{33}}{2}\approx1{,}37\ge-3$ — подходит.

Итого корни: $x=0$ и $x=\dfrac{-3+\sqrt{33}}{2}$.

Шаг 5 (пункт б). Проверяем принадлежность отрезку $[-4{,}5;\,1{,}4]$. $x=0$ входит очевидно. Для второго корня сравним $\dfrac{-3+\sqrt{33}}{2}$ и $\dfrac{7}{5}$: разность $$\frac{-3+\sqrt{33}}{2}-\frac{7}{5}=\frac{-29+5\sqrt{33}}{10}=\frac{\sqrt{825}-\sqrt{841}}{10}<0,$$ так как $825<841$. Значит, $\dfrac{-3+\sqrt{33}}{2}<\dfrac{7}{5}$, и этот корень тоже лежит в отрезке.

Оба корня входят в $[-4{,}5;\,1{,}4]$.