Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

Уравнение имеет вид $\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=\sqrt{x^4+2x^2}$.

Корень равен корню тогда и только тогда, когда подкоренные выражения совпадают и правое из них неотрицательно (левое автоматически будет тем же неотрицательным числом). Значит, задача равносильна системе: $$\begin{cases}x^4+2x^2\ge 0,\\ x^4+8x^3+2x^2-1=x^4+2x^2.\end{cases}$$

Первое условие выполняется для всех x, так как $x^4\ge0$ и $2x^2\ge0$ — сумма неотрицательных чисел неотрицательна. Поэтому оно не даёт ограничений.

Во втором уравнении сокращаем $x^4+2x^2$ с обеих сторон: $$8x^3-1=0 \;\Rightarrow\; x^3=\dfrac{1}{8}\;\Rightarrow\; x=\dfrac{1}{2}.$$

Это единственный корень, других решений уравнение не имеет.

б) Нужно проверить, лежит ли $x=\dfrac12$ в отрезке $[\log_3 0{,}5;\ \log_3 2]$.

Заметим, что $\dfrac12=\log_3 3^{1/2}=\log_3\sqrt3$, так как по определению логарифма $3^{\log_3\sqrt3}=\sqrt3=3^{1/2}$.

Остаётся сравнить $\sqrt3$ с границами: $0{,}5\le\sqrt3\le2$, поскольку $\sqrt3\approx1{,}73$. Так как логарифм по основанию 3 (основание больше 1) — возрастающая функция, из верного неравенства $0{,}5\le\sqrt3\le2$ следует $\log_30{,}5\le\log_3\sqrt3\le\log_32$, то есть $\log_30{,}5\le\dfrac12\le\log_32$.

Значит, единственный корень $x=\dfrac12$ принадлежит указанному отрезку.