Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

Шаг 1. Область определения. Под корнем должно быть $x+4\ge0$, а сам корень неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть $\ge0$: $x^2-4\ge0$, то есть $x\le-2$ или $x\ge2$ (это условие сильнее, чем $x\ge-4$, поэтому именно оно и определяет ОДЗ).

Шаг 2. Замена. Введём $y=\sqrt{x+4}\ge0$. Тогда $y^2=x+4$, и уравнение превращается в систему: $$\begin{cases}y^2=x+4\\ y=x^2-4\end{cases}$$

Шаг 3. Складываем уравнения. Сложив $y^2$ и $y$ с правыми частями, получаем $y^2+y=x^2+x$, то есть $y^2-x^2+y-x=0$. Раскладываем на множители: $(y-x)(y+x+1)=0$. Это даёт две ветви: $y=x$ или $y=-x-1$.

Шаг 4. Подстановка в $y=x^2-4$.

• При $y=x$: $x=x^2-4\Rightarrow x^2-x-4=0\Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}$.
• При $y=-x-1$: $-x-1=x^2-4\Rightarrow x^2+x-3=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$.

Шаг 5. Отбор корней по знаку $y$ и ОДЗ. Так как $4<\sqrt{17}<5$, имеем $\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}>2$ (подходит под ОДЗ и $y=x\ge0$), а $\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}<0$ — не подходит (нужно $y=x\ge0$). Так как $3<\sqrt{13}<4$, получаем $\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}<-2$ (подходит: $y=-x-1\ge0$ и ОДЗ $x\le-2$), а $\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$ лежит между $0$ и $2$ — не годится.

Итого корни уравнения: $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$ и $x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}$.

Шаг 6 (пункт б). Оценим положение корней: $\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}<-2$ (вне отрезка $[-2;3]$), а $2<\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}<3$ (входит в отрезок). Значит, единственный корень на $[-2;3]$ — это $\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$.