Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

Шаг 1. Область определения и знак правой части. Уравнение $\sqrt{x^3-4x^2-10x+29}=3-x$ равносильно системе, где корень существует и правая часть неотрицательна: $$\begin{cases}3-x\ge 0,\\ x^3-4x^2-10x+29=(3-x)^2.\end{cases}$$ Это нужно, потому что квадрат левой и правой части даёт то же уравнение только при неотрицательной правой части (иначе теряем контроль знаков).

Шаг 2. Раскрываем квадрат и упрощаем. $(3-x)^2=x^2-6x+9$. Подставляем: $$x^3-4x^2-10x+29=x^2-6x+9\;\Rightarrow\;x^3-5x^2-4x+20=0.$$

Шаг 3. Разложение на множители. Группируем: $x^2(x-5)-4(x-5)=0\Rightarrow(x-5)(x^2-4)=0$. Отсюда корни: $x=5,\;x=-2,\;x=2$.

Шаг 4. Проверка условия $x\le 3$. Корень $x=5$ не удовлетворяет $x\le3$, отбрасываем. Остаются $x=-2$ и $x=2$ — оба меньше 3, подходят.

Таким образом, множество решений уравнения: $\{-2;\,2\}$.

Шаг 5. Отбор корней на отрезке $[-\sqrt3;\sqrt{30}]$. Оцениваем границы: $\sqrt3\approx1.732$, значит $-\sqrt3\approx-1.732$. Так как $-2< -\sqrt3$, число $-2$ лежит левее отрезка и не входит в него. Число $2$ удовлетворяет $-\sqrt3\le2\le\sqrt{30}$ (ведь $\sqrt{30}\approx5.48>2$), значит $2$ принадлежит отрезку.

Итог: единственный подходящий корень — $2$.