Задание 13 ЕГЭ: тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

О чём эта подтема

В задании 13 профильного ЕГЭ часто встречаются уравнения, которые внешне выглядят сложно, но после преобразования одной-двумя формулами превращаются в обычное квадратное уравнение относительно $\sin x$ или $\cos x$. Это одна из самых «выгодных» подтем: техника решения стандартна, а сложность обычно сосредоточена не в самом уравнении, а в пункте б) — отборе корней на заданном промежутке.

Типичный сценарий: в уравнении есть $\cos 2x$ (или $\sin 2x$) и функция от аргумента вида $x+\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{\pi}{2}-x$, $\pi-x$ и т.п. Формулы приведения убирают лишний сдвиг аргумента, формула двойного угла сводит всё к одной функции — и получается квадратное уравнение с одной переменной.

Что нужно знать

Для решения таких уравнений нужен небольшой, но твёрдо выученный набор фактов.

Формулы приведения (аргумент вида $\dfrac{\pi}{2}\pm x$, $\pi\pm x$ и т.д.): $$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(\pi-x)=-\cos x.$$

Формулы двойного угла для косинуса — их три равносильные записи, и важно уметь выбрать нужную: $$\cos 2x = \cos^2x-\sin^2x = 2\cos^2x-1 = 1-2\sin^2x.$$ Выбор конкретной формы зависит от того, какая функция (синус или косинус) уже присутствует в правой части уравнения — так после подстановки всё уравнение окажется выражено через одну функцию.

Метод замены переменной. Если уравнение после преобразований содержит только $\cos x$ (или только $\sin x$), вводится замена $t=\cos x$ (или $t=\sin x$) с обязательным ограничением $$-1\le t\le 1.$$ Это ограничение — не формальность: часто один из корней квадратного уравнения выходит за пределы $[-1;1]$ и должен быть отброшен.

Решение квадратного уравнения. Стандартная формула корней $$t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ для уравнения $at^2+bt+c=0$.

Возврат к переменной x. После нахождения допустимых значений $t$ применяются базовые формулы: $$\cos x=a\ (|a|\le1)\ \Rightarrow\ x=\pm\arccos a+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z};$$ $$\sin x=a\ (|a|\le1)\ \Rightarrow\ x=(-1)^k\arcsin a+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$ Особые случаи ($a=0,\ \pm1$) дают более простые серии, например $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi k$, $\sin x=0\Rightarrow x=\pi n$.

Отбор корней на промежутке — умение подставлять целые значения параметра ($k$ или $n$) в общую формулу и проверять, попадает ли получившееся число в границы отрезка. Здесь полезно перевести границы промежутка в те же доли $\pi$, что и в ответе, и сравнивать дробные коэффициенты.

Как решать: метод и алгоритм

1. Привести уравнение к одной функции одного аргумента. Используйте формулы приведения, чтобы убрать сдвиги типа $x+\dfrac{\pi}{2}$ или $\dfrac{\pi}{2}-x$.
2. Заменить $\cos 2x$ на подходящую форму — $2\cos^2x-1$, если в уравнении уже есть $\cos x$, или $1-2\sin^2x$, если есть $\sin x$.
3. Собрать уравнение в стандартный вид $at^2+bt+c=0$, где $t=\sin x$ или $t=\cos x$.
4. Решить квадратное уравнение, найти оба корня.
5. Проверить корни на условие $|t|\le1$ — отбросить те, что не подходят.
6. Для каждого допустимого $t$ записать общую формулу решений через $\arcsin$, $\arccos$ или их частные значения.
7. Если требуется отбор на промежутке, подставить целые значения параметра в каждую серию корней и оставить только те, что попадают в границы (не забывая про открытые/закрытые концы промежутка).

Разбор примера

Пример 1

а) Решите уравнение $\cos 2x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Шаг 1. По формуле приведения $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x$. Уравнение принимает вид: $$\cos 2x=\cos x.$$

Шаг 2. Поскольку в правой части уже стоит $\cos x$, используем форму двойного угла через косинус: $\cos 2x=2\cos^2x-1$. Получаем: $$2\cos^2x-1=\cos x.$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону: $$2\cos^2x-\cos x-1=0.$$

Шаг 4. Замена $t=\cos x$, $-1\le t\le1$: $$2t^2-t-1=0.$$ Дискриминант: $D=1+8=9$, $\sqrt{D}=3$. Корни: $$t=\frac{1\pm3}{4}\ \Rightarrow\ t_1=1,\quad t_2=-\frac12.$$ Оба корня удовлетворяют условию $|t|\le1$.

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

• $\cos x=1\ \Rightarrow\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$;
• $\cos x=-\dfrac12\ \Rightarrow\ x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

Ответ а): $\left\{2\pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\right\}$.

б) Найдите корни на $[-2\pi;-\pi]$.

Проверяем первую серию $x=2\pi k$: при $k=-1$ получаем $x=-2\pi$ — попадает в отрезок (левая граница включена). При $k=0$ получаем $0$ — не подходит, при $k=-2$ получаем $-4\pi$ — тоже не подходит.

Проверяем серию $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $\dfrac{2\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{4\pi}{3}\approx-4{,}19$, что лежит между $-2\pi\approx-6{,}28$ и $-\pi\approx-3{,}14$ — подходит. При $k=0$ получаем положительное число, не подходит.

Проверяем серию $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$: при $k=-1$ получаем $-\dfrac{8\pi}{3}\approx-8{,}38$ — вне отрезка; при $k=0$ получаем $-\dfrac{2\pi}{3}\approx-2{,}09$ — тоже вне отрезка (правее $-\pi$).

Ответ б): $-2\pi;\ -\dfrac{4\pi}{3}$.

Пример 2

а) Решите уравнение $\cos 2x=1-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$.

Шаг 1. По формуле приведения $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$. Уравнение становится: $$\cos 2x=1-\sin x.$$

Шаг 2. Так как в правой части стоит $\sin x$, берём форму $\cos 2x=1-2\sin^2x$: $$1-2\sin^2x=1-\sin x.$$

Шаг 3. Упрощаем: $$-2\sin^2x+\sin x=0\ \Rightarrow\ \sin x(1-2\sin x)=0.$$

Шаг 4. Это уравнение уже разложено на множители, отдельная замена не нужна, но по сути перед нами тот же квадратный случай относительно $t=\sin x$: $-2t^2+t=0$, корни $t=0$ и $t=\dfrac12$ — оба в допустимых границах.

Шаг 5. Возвращаемся к $x$:

• $\sin x=0\ \Rightarrow\ x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$;
• $\sin x=\dfrac12\ \Rightarrow\ x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

Ответ а): $x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$; $x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$.

б) Укажите корни на $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right)$.

Проверяем серию $x=\pi n$: при $n=-2$ получаем $-2\pi\approx-6{,}28$, что лежит в $\left[-7{,}85;-3{,}14\right)$ — подходит. При $n=-1$ получаем $-\pi$ — граница исключена, не подходит. При $n=-3$ получаем $-3\pi\approx-9{,}42$ — вне промежутка.

Проверяем серию $x=(-1)^k\dfrac{\pi}{6}+\pi k$:

• $k=-1$: $(-1)^{-1}\dfrac{\pi}{6}-\pi=-\dfrac{\pi}{6}-\pi=-\dfrac{7\pi}{6}\approx-3{,}67$ — подходит (лежит левее $-\pi$).
• $k=-2$: $(-1)^{-2}\dfrac{\pi}{6}-2\pi=\dfrac{\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{11\pi}{6}\approx-5{,}76$ — подходит.
• $k=-3$: $-\dfrac{\pi}{6}-3\pi=-\dfrac{19\pi}{6}\approx-9{,}94$ — вне промежутка.
• $k=0$: $\dfrac{\pi}{6}\approx0{,}52$ — не подходит.

Ответ б): $-2\pi;\ -\dfrac{11\pi}{6};\ -\dfrac{7\pi}{6}$.

Типичные ошибки

• Неверная формула приведения. Часто путают знак или функцию: $\sin(x+\pi/2)$ ошибочно заменяют на $-\cos x$ вместо $\cos x$. Правильно проверять по единичной окружности, а не по памяти «наугад».
• Неправильный выбор формы $\cos 2x$. Если в уравнении уже есть $\sin x$, а взята форма через $\cos^2x$, получится смешанное уравнение с двумя функциями — тогда придётся дополнительно применять $\sin^2x+\cos^2x=1$, что усложняет решение и повышает риск ошибки.
• Забытое ограничение $|t|\le1$. Один из корней квадратного уравнения нередко оказывается больше 1 или меньше $-1$ — такие значения не дают решений и должны быть отброшены, иначе в ответе появится «лишняя» несуществующая серия.
• Потеря знака $\pm$ или $(-1)^k$ при записи общего решения для $\cos x=a$ и $\sin x=a$.
• Ошибки при отборе корней на промежутке: неверный перевод границ в дроби с $\pi$, путаница с открытыми и закрытыми концами отрезка, пропуск проверки соседних значений параметра $k$ (слишком рано прекращают перебор).
• Арифметические промахи при вычислении дискриминанта или при переводе корней в приближённые десятичные значения для сравнения с границами промежутка.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как вводить замену, обязательно доведите уравнение до вида, где присутствует только одна тригонометрическая функция — иначе замена не сработает. Проверяйте формулы приведения мысленным представлением угла на окружности, а не механическим воспроизведением: это снижает вероятность знаковой ошибки.

После нахождения корней квадратного уравнения сразу отмечайте, какие из них попадают в диапазон $[-1;1]$ — это экономит время и предотвращает появление лишних серий в ответе.

В пункте б) переводите границы промежутка в те же единицы, что и в общей формуле решения (обычно доли $\pi$), и подставляйте целые значения параметра последовательно, начиная с ближайшего к границе. Полезно нарисовать числовую ось или тригонометрический круг и отметить границы промежутка — так визуально проще увидеть, какие серии могут попасть внутрь.

Обращайте внимание на тип скобок в условии — квадратная или круглая: это определяет, включена ли граница в множество решений. Ошибка в этом моменте может стоить балла даже при полностью верном уравнении в пункте а).

Наконец, выписывайте окончательный ответ в том же формате, что принят в критериях: с указанием множества значений параметра ($k\in\mathbb{Z}$ или $n\in\mathbb{Z}$), а для пункта б) — в виде упорядоченного списка конкретных чисел.