Задание 13: тригонометрические уравнения и разложение на множители

О чём эта подтема

Задание 13 профильного ЕГЭ состоит из двух частей. В пункте а) нужно решить тригонометрическое уравнение и записать все его корни в общем виде через параметр $k \in \mathbb{Z}$. В пункте б) из найденного множества решений требуется отобрать те корни, которые попадают в заданный отрезок.

Большинство уравнений этого типа нельзя решить напрямую как простейшее тригонометрическое уравнение — сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы оно распалось на произведение множителей, каждый из которых затем приравнивается к нулю. Именно разложение на множители — ключевой навык этой подтемы: без него уравнение выглядит громоздким, а с ним сводится к двум-трём простейшим уравнениям.

Эта подтема регулярно встречается на экзамене, потому что проверяет сразу несколько умений: владение формулами тригонометрии, технику алгебраических преобразований и аккуратность при отборе корней на отрезке.

Что нужно знать

Для успешного решения таких уравнений необходим базовый набор формул и приёмов.

Формулы двойного угла: $$\sin 2x = 2\sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x.$$

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Общие решения простейших уравнений: $$\sin x = a \;\Rightarrow\; x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \; n \in \mathbb{Z};$$ $$\cos x = a \;\Rightarrow\; x = \pm \arccos a + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Для частных значений ($a = 0, \pm 1, \pm \tfrac12, \pm \tfrac{\sqrt2}{2}, \pm \tfrac{\sqrt3}{2}$) нужно уверенно называть углы наизусть, не тратя время на таблицы во время экзамена.

Приёмы разложения на множители:

• вынесение общего множителя за скобку после группировки слагаемых;
• использование формулы двойного угла для появления общего множителя (чаще всего это $\sin x$ или $\cos x$);
• группировка «по два» с последующим вынесением общего скобочного множителя.

Техника отбора корней на отрезке: каждое семейство решений вида $x = x_0 + 2\pi k$ или $x = x_0 + \pi k$ подставляется в двойное неравенство, задающее отрезок, после чего неравенство решается относительно целого параметра $k$, и полученные значения $k$ подставляются обратно для получения числовых корней.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения тригонометрического уравнения через разложение на множители состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Перенести все члены уравнения в одну сторону, чтобы справа стоял ноль.

Шаг 2. Применить формулы приведения, двойного угла или основное тригонометрическое тождество так, чтобы в уравнении появились слагаемые с общим множителем. Часто цель — свести все функции к одному аргументу (например, заменить $\sin 2x$ через $\sin x$ и $\cos x$).

Шаг 3. Сгруппировать слагаемые парами и вынести общий множитель за скобку. В результате уравнение должно принять вид произведения двух (реже трёх) множителей, равного нулю: $$f(x) \cdot g(x) = 0.$$

Шаг 4. Применить свойство: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Записать два (или больше) отдельных уравнения: $f(x) = 0$ и $g(x) = 0$.

Шаг 5. Решить каждое из простейших уравнений отдельно, используя формулы общих решений. Объединить все найденные семейства корней в ответ пункта а).

Шаг 6. Для пункта б) записать двойное неравенство, задающее границы отрезка, отдельно для каждого семейства корней. Решить его относительно целочисленного параметра, найти подходящие значения этого параметра и подставить их обратно в формулу корня.

Шаг 7. Проверить, что все найденные значения действительно принадлежат отрезку (включая проверку закрытых или открытых концов), и упорядочить их по возрастанию.

Важно: при разложении на множители нельзя делить обе части уравнения на функцию, которая может обращаться в ноль (например, на $\cos x$ или $\sin x$) — это приводит к потере корней. Правильный путь — именно вынесение общего множителя, а не сокращение.

Разбор примера

Пример 1. Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{3}\sin x = 0$, а затем найдите корни на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2}; \dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. Заменим $\sin 2x$ по формуле двойного угла: $$2\sin x \cos x + \sqrt{3}\sin x = 0.$$

Шаг 2. Вынесем общий множитель $\sin x$: $$\sin x \,(2\cos x + \sqrt{3}) = 0.$$

Шаг 3. Произведение равно нулю, значит, рассматриваем два случая.

Случай 1: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.

Ответ пункта а): $$\left\{ \pi k;\; -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k;\; \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \;:\; k \in \mathbb{Z} \right\}.$$

Отбор на отрезке $\left[\dfrac{5\pi}{2};\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Для $x = \pi k$: $\dfrac{5\pi}{2} \le \pi k \le \dfrac{7\pi}{2} \Rightarrow 2{,}5 \le k \le 3{,}5$, единственное целое значение $k = 3$, отсюда $x = 3\pi$.

Для $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$: решаем $\dfrac{5\pi}{2} \le -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \le \dfrac{7\pi}{2}$. Прибавим $\dfrac{5\pi}{6}$ ко всем частям: $\dfrac{10\pi}{3} \le 2\pi k \le \dfrac{13\pi}{3}$, то есть $\dfrac{5}{3} \le k \le \dfrac{13}{6}$. Единственное целое $k = 2$, тогда $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{19\pi}{6}$.

Для $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$: $\dfrac{5\pi}{2} \le \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \le \dfrac{7\pi}{2}$, вычитаем $\dfrac{5\pi}{6}$: $\dfrac{5\pi}{3} \le 2\pi k \le \dfrac{8\pi}{3}$, то есть $\dfrac{5}{6} \le k \le \dfrac{4}{3}$. Единственное целое $k = 1$, тогда $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{17\pi}{6}$.

Ответ пункта б): $3\pi,\; \dfrac{17\pi}{6},\; \dfrac{19\pi}{6}$.

Пример 2. Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$, найдите корни на отрезке $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Шаг 1. Перенесём все члены в левую часть: $$\sin 2x - 2\cos x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2} = 0.$$

Шаг 2. Заменим $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$2\sin x \cos x - 2\cos x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2} = 0.$$

Шаг 3. Сгруппируем по два слагаемых и вынесем общие множители: $$2\cos x(\sin x - 1) + \sqrt{2}(\sin x - 1) = 0.$$

Шаг 4. Вынесем общую скобку $(\sin x - 1)$: $$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0.$$

Случай 1: $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x = -\dfrac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$.

Ответ пункта а): $$\left\{ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\; -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\; \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \;:\; k \in \mathbb{Z} \right\}.$$

Отбор на отрезке $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Для $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$: $\pi \le \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \le \dfrac{5\pi}{2}$, откуда $\dfrac14 \le k \le 1$. Целое $k = 1$ даёт $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{2}$ (граница отрезка, включается).

Для $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $\pi \le -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \le \dfrac{5\pi}{2}$, прибавляем $\dfrac{3\pi}{4}$: $\dfrac{7\pi}{4} \le 2\pi k \le \dfrac{13\pi}{4}$, то есть $\dfrac{7}{8} \le k \le \dfrac{13}{8}$. Целое $k = 1$ даёт $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{4}$.

Для $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$: неравенство $\dfrac{1}{8} \le k \le \dfrac{7}{8}$ не содержит целых значений — корней из этого семейства на отрезке нет.

Ответ пункта б): $\dfrac{5\pi}{4},\; \dfrac{5\pi}{2}$.

Типичные ошибки

• Потеря корней при делении. Если вместо вынесения общего множителя уравнение делят на функцию (например, на $\cos x$), теряются те решения, при которых эта функция равна нулю. Правильный приём — всегда группировать и выносить общий множитель, а не сокращать.
• Неполное разложение. Иногда после группировки остаётся не до конца упрощённое выражение, и школьник забывает, что каждый множитель нужно приравнять к нулю отдельно, решая как самостоятельное уравнение.
• Ошибки в знаках при использовании формулы двойного угла, особенно при выборе формы $\cos 2x = 1-2\sin^2 x$ или $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ не по месту — это приводит к неверному уравнению.
• Неправильный перевод неравенства для отбора корней. Часто ошибка возникает при делении обеих частей неравенства на $2\pi$ или $\pi$ — важно аккуратно работать с дробями и не терять знаки при переносе слагаемых.
• Игнорирование границ отрезка. Если отрезок задан квадратными скобками (включает концы), а корень попадает точно на границу, его обязательно нужно включить в ответ — это частая причина потери балла.
• Отсутствие проверки. Не проверив хотя бы один корень подстановкой в исходное уравнение, легко пропустить арифметическую ошибку, накопленную за несколько шагов преобразований.

На что обратить внимание на экзамене

При оформлении решения важно чётко разделять пункт а) и пункт б): сначала полностью решить уравнение и получить все семейства корней, и только потом переходить к отбору на отрезке. Смешивание этих этапов увеличивает риск ошибки и снижает читаемость решения для проверяющего.

При отборе корней удобно решать неравенство для параметра $k$ в виде десятичных дробей (например, $1{,}25 \le k \le 2{,}17$) — так проще увидеть, какие целые числа попадают в этот промежуток, особенно если границы отрезка не совпадают с «круглыми» значениями.

Перед тем как записывать окончательный ответ, стоит потратить полминуты на проверку подстановкой хотя бы одного из найденных корней в исходное (не преобразованное) уравнение — это отсекает ошибки, допущенные при использовании формул двойного угла или при группировке.

Наконец, ответ в пункте б) нужно располагать по возрастанию и в наиболее простой форме (сокращённые дроби, без лишних знаков), поскольку именно так его удобнее всего сверять с критериями проверки.