Задание 13 ЕГЭ: логарифмические уравнения — разбор и алгоритм решения

О чём эта подтема

Логарифмические уравнения — один из трёх типичных видов уравнений в задании 13 профильного ЕГЭ (наряду с тригонометрическими и показательными). Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно решить уравнение и найти все его корни, а в пункте б) — отобрать из них те, что попадают в заданный отрезок. Логарифмические уравнения ценятся тем, что здесь особенно важна работа с областью допустимых значений (ОДЗ) — именно на ней чаще всего теряют баллы. Без верной ОДЗ даже правильно найденные корни могут оказаться лишними, а задание считается решённым только при полном верном решении обоих пунктов.

Сложность таких уравнений обычно средняя: они не требуют экзотических приёмов, но проверяют аккуратность в применении свойств логарифма, умение сводить уравнение к алгебраическому и способность оценивать числовые значения логарифмов при отборе корней.

Что нужно знать

Для решения логарифмических уравнений в задании 13 достаточно твёрдо владеть следующим набором фактов.

Определение и ОДЗ. Выражение $\log_a b$ имеет смысл, если $$a>0,\quad a\neq 1,\quad b>0.$$ Любое логарифмическое уравнение начинается (или заканчивается) с выписывания этих условий для каждого логарифма, входящего в уравнение.

Основное логарифмическое тождество: $$a^{\log_a b}=b.$$

Свойства логарифмов, которые используются для преобразования уравнения к удобному виду: $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad (x>0,\ y>0),$$ $$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \quad (x>0,\ y>0),$$ $$\log_a x^p = p\log_a x \quad (x>0),$$ $$\log_{a^k} x = \frac{1}{k}\log_a x \quad (a>0,\ a\neq1,\ k\neq0),$$ $$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\ \text{(переход к новому основанию)}.$$

Особенно важно свойство для чётной степени под логарифмом: $$\log_a x^{2n} = 2n\log_a |x| = \log_a x^{2n}\quad (x\neq 0),$$ оно позволяет заменять $\log_a x^4$ на $2\log_a x^2 = \log_a (x^2)^2$... но проще сразу использовать $$\log_a x^{2n} = n\log_a x^2.$$ Эта форма не требует знака модуля и часто встречается в заданиях с чётными степенями.

Метод потенцирования (снятия логарифма). Если $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, то при условии, что оба выражения положительны, уравнение равносильно $f(x)=g(x)$. Важно: равенство оснований логарифмов обязательно, а условие положительности проверяется через ОДЗ, а не через уравнение $f(x)=g(x)$.

Уравнение вида $\log_a f(x) = c$ равносильно (при выполнении ОДЗ) равенству $$f(x) = a^{c}.$$

Метод замены переменной применяется, когда логарифм входит в уравнение в разных степенях (например, $\log_a^2 x$ и $\log_a x$). Тогда вводят $t=\log_a x$ и получают квадратное (или иное алгебраическое) уравнение относительно $t$.

Для пункта б) нужно уметь оценивать значения логарифмов численно или сравнивать их между собой без калькулятора, используя монотонность логарифмической функции и известные оценки (например, $\log_3 1 = 0$, $\log_2 4 = 2$ и т.п.), а также свойства сравнения логарифмов с разными основаниями.

Как решать: метод и алгоритм

Общий алгоритм решения логарифмического уравнения в задании 13 выглядит так.

1. Выписать ОДЗ. Для каждого логарифма в уравнении подлогарифмическое выражение должно быть положительным, основание — положительным и не равным единице. Решить полученную систему неравенств.

2. Привести уравнение к одному основанию. Если логарифмы имеют разные основания, использовать формулу перехода к новому основанию или свойство $\log_{a^k}x=\frac1k\log_a x$, чтобы получить логарифмы с одинаковым основанием по обе стороны уравнения.

3. Упростить с помощью свойств логарифмов. Свернуть суммы и разности логарифмов в один логарифм произведения или частного, вынести степени за знак логарифма или, наоборот, занести коэффициент внутрь как степень.

4. Применить потенцирование или вычислить значение. Если уравнение приведено к виду $\log_a f(x)=\log_a g(x)$, перейти к $f(x)=g(x)$. Если к виду $\log_a f(x)=c$, перейти к $f(x)=a^{c}$.

5. Решить полученное алгебраическое уравнение (линейное, квадратное и т. д.) стандартными методами.

6. Проверить корни по ОДЗ, найденной на первом шаге. Отбросить посторонние корни.

7. Для пункта б) — оценить границы данного отрезка численно (перевести к десятичным дробям или сравнить логарифмы через промежуточные значения) и проверить, какие из найденных в пункте а) корней попадают внутрь отрезка, включая его концы.

Ключ к успеху — не пропускать шаг с ОДЗ и не забывать проверять корни именно по ОДЗ, а не по исходному уравнению (иногда подстановка в исходное уравнение неудобна, а проверка по системе неравенств проще и надёжнее).

Разбор примера

Пример 1. Решить уравнение $$\log_5(2-x)=\log_{25}x^4,$$ и указать корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_9\dfrac{1}{82};\ \log_9 8\right]$.

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $2-x>0$, то есть $x<2$, и $x^4>0$, то есть $x\neq 0$.

Шаг 2. Приведение к одному основанию. Так как $25=5^2$, применим формулу $\log_{a^k}x=\frac1k\log_a x$: $$\log_{25}x^4=\frac12\log_5 x^4=\frac12\cdot 4\log_5|x|=2\log_5|x|=\log_5 x^2.$$ Уравнение принимает вид: $$\log_5(2-x)=\log_5 x^2.$$

Шаг 3. Потенцирование. Основания совпадают, значит равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (с учётом ОДЗ): $$2-x=x^2.$$

Шаг 4. Решение алгебраического уравнения. $$x^2+x-2=0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x-1)=0 \;\Rightarrow\; x=-2\ \text{или}\ x=1.$$

Шаг 5. Проверка по ОДЗ. Условие $x<2$ выполняется для обоих корней. Условие $x\neq0$ тоже выполняется. Значит оба корня — решения уравнения.

Ответ на пункт а): $x=-2,\ x=1$.

Шаг 6. Пункт б) — отбор корней на отрезке. Нужно оценить $\log_9\dfrac{1}{82}$ и $\log_9 8$.

Поскольку $9^2=81\approx82$, то $\log_9 82\approx 2$, а значит $$\log_9\frac{1}{82}=-\log_9 82\approx -2,\ \text{точнее чуть меньше }-2\ (\text{так как }82>81).$$ Точнее: $9^2=81<82$, значит $\log_9 82>2$, а $\log_9\dfrac1{82}<-2$.

Для второй границы: $9^1=9>8$, значит $\log_9 8<1$. Более того, $\log_9 8>0$, так как $8>1$. То есть $0<\log_9 8<1$.

Таким образом отрезок приближённо равен $[-2{,}01;\ 0{,}95]$, то есть его левая граница чуть меньше $-2$, а правая — меньше $1$.

Проверим корни: $x=-2$ — попадает в отрезок, так как $-2{,}01<-2<0{,}95$. Корень $x=1$ не попадает, так как $1>0{,}95$.

Ответ на пункт б): $x=-2$.

Пример 2. Решить уравнение $$\log_2(x^2-14x)=5,$$ указать корни, принадлежащие отрезку $\left[\log_3 0{,}1;\ 5\sqrt{10}\right]$.

Шаг 1. ОДЗ. Нужно $x^2-14x>0$, то есть $x(x-14)>0$, откуда $x<0$ или $x>14$.

Шаг 2. Переход от логарифмического уравнения к алгебраическому. По определению логарифма: $$x^2-14x=2^5=32.$$

Шаг 3. Решение квадратного уравнения. $$x^2-14x-32=0.$$ Дискриминант: $D=196+128=324=18^2$. Корни: $$x=\frac{14\pm18}{2}\ \Rightarrow\ x=16\ \text{или}\ x=-2.$$

Шаг 4. Проверка по ОДЗ. $x=16>14$ — подходит; $x=-2<0$ — подходит. Оба корня — решения.

Ответ на пункт а): $x=-2,\ x=16$.

Шаг 5. Пункт б) — оценка отрезка. Оценим границы: $\log_3 0{,}1$ — это отрицательное число, так как $0{,}1<1$. Точнее, $3^{-2}=\dfrac19\approx0{,}111$, а $0{,}1<0{,}111$, значит $\log_3 0{,}1<-2$ (число чуть меньше $-2$).

Правая граница: $5\sqrt{10}\approx5\cdot3{,}16=15{,}8$.

Отрезок примерно равен $[-2{,}1;\ 15{,}8]$.

Проверим корни: $x=-2$ попадает, так как $-2{,}1<-2<15{,}8$. Корень $x=16$ не попадает, так как $16>15{,}8$.

Ответ на пункт б): $x=-2$.

Оба примера показывают типичную схему: сведение к одному основанию через свойства степеней, снятие логарифма, решение квадратного уравнения, проверка по ОДЗ и численная оценка границ отрезка для отбора корней.

Типичные ошибки

Игнорирование ОДЗ. Самая частая ошибка — найти корни алгебраического уравнения и сразу записать их в ответ, не проверив условия положительности подлогарифмических выражений. В примере 2, если бы не проверить $x^2-14x>0$, можно было бы по ошибке принять посторонний корень (хотя здесь оба подошли, в других вариантах отсеивание обязательно).

Неверное применение свойства $\log_a x^{2n}$. Формула $\log_a x^{2n}=2n\log_a x$ верна только при $x>0$; для произвольного знака нужно писать $\log_a x^{2n}=2n\log_a|x|$ или сразу переходить к $\log_a x^{2n}=n\log_a x^2$, что не требует модуля и безопаснее в вычислениях.

Ошибки при переходе к новому основанию. Часто путают, куда именно ставить коэффициент $\dfrac1k$ при переходе от $\log_{a^k}x$ к $\log_a x$. Стоит всегда проверять формулу на простом числовом примере перед использованием в решении.

Небрежная оценка логарифмов в пункте б). Вместо аккуратной оценки через степени основания (например, $9^2=81$) школьники пытаются вычислить логарифм «на глаз» и ошибаются со знаком неравенства, что приводит к неверному отбору корней.

Потеря корней при потенцировании. Иногда забывают, что уравнение $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ даёт после потенцирования не только уравнение $f(x)=g(x)$, но требует отдельной проверки, что оба выражения действительно положительны — это не следует автоматически из равенства.

Путаница со знаком при переносе логарифмов. При преобразовании вида $\log_a f(x) - \log_a g(x)=c$ в $\log_a \dfrac{f(x)}{g(x)}=c$ нужно помнить об ОДЗ для частного отдельно, а не только для числителя и знаменателя по отдельности.

На что обратить внимание на экзамене

На экзамене важно действовать по чёткой схеме и не экономить время на записи ОДЗ — это не формальность, а часть правильного решения, за отсутствие которой снимают баллы даже при верных вычислениях. Рекомендуется сначала полностью выписать систему условий, затем решать уравнение, и только в конце подставлять найденные корни в условия ОДЗ, а не в исходное уравнение — так проще избежать арифметических ошибок при проверке.

При работе с пунктом б) не нужно бояться нецелых и «некрасивых» границ отрезка вроде $\log_9\dfrac1{82}$ или $5\sqrt{10}$: их не нужно вычислять точно, достаточно оценить, между какими целыми числами они лежат, используя ближайшие степени основания. Такой приём быстрый и надёжный, и он же снижает риск арифметической ошибки по сравнению с использованием десятичных приближений.

Стоит также держать в голове стандартные преобразования — переход к одному основанию, снятие логарифма, замену переменной — и уметь быстро определить, какой из них подходит по виду уравнения. Большинство уравнений в задании 13 укладываются в эти три сценария, и после определённой тренировки распознавание нужного метода занимает несколько секунд.

Наконец, важно проверять оба пункта задания целиком: часто ученики решают пункт а) верно, но забывают про пункт б) или делают в нём вычислительную ошибку при оценке границ. Поскольку баллы за задание выставляются только при полностью верном решении, стоит уделить отбору корней на отрезке не меньше внимания, чем самому уравнению.