Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Шаг 1. Понимаем структуру уравнения. Уравнение имеет вид $\log_{8x-12-x^{2}}(x-2)=\log_{18-3x}(x-2)$, то есть у обоих логарифмов один и тот же аргумент $x-2$, а основания разные.

Шаг 2. Используем свойство равных логарифмов с общим аргументом. Если аргумент равен 1, то $\log_A(1)=0$ для любого допустимого основания $A$, значит равенство выполняется автоматически. Если аргумент не равен 1, равенство логарифмов с разными основаниями возможно только когда сами основания совпадают. Поэтому на ОДЗ уравнение равносильно совокупности $$x-2=1 \quad\text{или}\quad 8x-12-x^{2}=18-3x.$$

Шаг 3. Решаем оба случая. Из первого: $x=3$. Из второго: $x^{2}-11x+30=0 \Rightarrow x=5,\ x=6$.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ (аргумент $x-2>0$, основания положительны и не равны 1).

• $x=3$: $x-2=1>0$; основания $A=3$, $B=9$ — подходят.
• $x=5$: $x-2=3>0$; $A=B=3$ — подходят.
• $x=6$: $A=8\cdot6-12-36=0$ — основание не может быть нулевым, корень отбрасывается.

Итог пункта а): $x=3;\ x=5$.

Шаг 5. Оцениваем границы отрезка для пункта б. Левая граница: так как $0<0{,}2<1$, функция $\log_{0.2}t$ убывает, поэтому из $0.3>0.2$ следует $\log_{0.2}0.3<\log_{0.2}0.2=1$, значит $\sqrt{\log_{0.2}0.3}<1$.

Правая граница: $\log_{\sqrt2}\sqrt{30}=\log_{2}30$ (одновременное извлечение корня из основания и аргумента не меняет значение логарифма). Так как $2^3=8<30<32=2^5$, получаем $3<\log_2 30<5$.

Шаг 6. Сравниваем корни с отрезком. Отрезок имеет вид $[\text{число}<1;\ \text{число между }3\text{ и }5]$. Значит корень $x=3$ лежит внутри отрезка (так как $3<\log_2 30$), а корень $x=5$ не попадает, поскольку правая граница отрезка меньше 5.

Ответ пункта б): $x=3$.