Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

а) Уравнение $\log_2(x^2-14x)=5$ по определению логарифма означает, что подлогарифменное выражение равно основанию в указанной степени: $x^2-14x=2^5=32$.

Переносим всё в одну сторону: $x^2-14x-32=0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант или разложение: $D=196+128=324=18^2$, корни $x=\dfrac{14\pm18}{2}$, то есть $x=-2$ и $x=16$.

Проверяем область определения: подлогарифменное выражение должно быть положительным. При $x=-2$: $4+28=32>0$ — подходит. При $x=16$: $256-224=32>0$ — подходит. Оба корня допустимы.

б) Нужно понять, какие из корней $-2$ и $16$ попадают в отрезок $[\log_3 0{,}1;\,5\sqrt{10}]$.

Оценим границы отрезка. Левая граница: $\log_3 0{,}1<\log_3\frac19=-2$, значит левая граница меньше $-2$.

Правая граница: $5\sqrt{10}=\sqrt{250}$. Сравним с $16=\sqrt{256}$: так как $250<256$, то $\sqrt{250}<16$, то есть $5\sqrt{10}<16$.

Таким образом отрезок лежит строго между числом меньше $-2$ и числом меньше $16$, то есть весь отрезок находится левее $16$, но правее значения, меньшего $-2$. Значит корень $-2$ попадает в отрезок (так как левая граница меньше $-2$, а правая граница больше $-2$, ведь $5\sqrt{10}\approx15{,}8>-2$), а корень $16$ не попадает, так как правая граница отрезка меньше $16$.

Итог: в отрезок входит только $x=-2$.