ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравнения

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияОбласть определения уравнения

а)  Решите уравнение логарифм по основанию левая круглая скобка минус x в квадрате минус 32x плюс 33 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 136 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка минус 33x правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 33 правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби .

 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус корень из: начало аргумента: 333 конец аргумента ; минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента правая квадратная скобка .

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Свести обе части к логарифмам с одинаковым основанием (1−x)(x+33)(1-x)(x+33), используя тождество −x2−32x+33=(1−x)(x+33)-x^2-32x+33=(1-x)(x+33) и свойство 1log⁡ba=log⁡ab\dfrac1{\log_b a}=\log_a b, после чего приравнять аргументы и решить квадратное уравнение с учётом ОДЗ.

  1. Сначала найдём ОДЗ. Основание слева −x2−32x+33=(1−x)(x+33)-x^2-32x+33=(1-x)(x+33), поэтому надо, чтобы это выражение было положительным и не равным 1, аргумент справа тоже (1−x)(x+33)(1-x)(x+33), значит условие то же. Кроме того, основание в правой части −33x-33x должно быть положительным и не равным 1, а его аргумент 2x2+136>02x^2+136>0 выполняется всегда. Отсюда получаем: (1−x)(x+33)>0⇒−33<x<1(1-x)(x+33)>0 \Rightarrow -33<x<1; −33x>0⇒x<0-33x>0 \Rightarrow x<0; значит −33<x<0-33<x<0, кроме x=−133x=-\dfrac1{33} (там −33x=1-33x=1) и кроме корней уравнения (1−x)(x+33)=1(1-x)(x+33)=1, то есть x2+32x−32=0x^2+32x-32=0, откуда x=−16−122x=-16-12\sqrt2 (второй корень −16+122-16+12\sqrt2 не входит в промежуток).

  2. Преобразуем уравнение по свойству логарифмов: 1log⁡−33x((1−x)(x+33))=log⁡(1−x)(x+33)(−33x)\dfrac{1}{\log_{-33x}\big((1-x)(x+33)\big)}=\log_{(1-x)(x+33)}(-33x). Тогда уравнение принимает вид log⁡(1−x)(x+33)(2x2+136)=log⁡(1−x)(x+33)(−33x).\log_{(1-x)(x+33)}(2x^2+136)=\log_{(1-x)(x+33)}(-33x). Так как основания совпадают и лежат в ОДЗ, равенство логарифмов равносильно равенству аргументов: 2x2+136=−33x.2x^2+136=-33x.

  3. Решаем квадратное уравнение 2x2+33x+136=02x^2+33x+136=0: дискриминант D=332−4⋅2⋅136=1089−1088=1D=33^2-4\cdot2\cdot136=1089-1088=1, корни x=−33±14⇒x1=−8,  x2=−172.x=\dfrac{-33\pm1}{4}\Rightarrow x_1=-8,\; x_2=-\dfrac{17}{2}.

  4. Проверяем оба корня по ОДЗ: они лежат в интервале (−33;0)(-33;0), не равны −133-\dfrac1{33} и не равны −16−122≈−32,97-16-12\sqrt2\approx-32,97. Значит оба корня подходят: x=−8,  x=−172x=-8,\;x=-\dfrac{17}{2}.

  5. Для пункта б) проверим принадлежность корней отрезку [−333;−33][-\sqrt{333};-\sqrt{33}]. Возведём числа в квадрат: 33<82=64<(172)2=72,25<33333<8^2=64<\left(\dfrac{17}{2}\right)^2=72{,}25<333. Так как для отрицательных чисел большему модулю соответствует меньшее значение, получаем −333<−172<−8<−33-\sqrt{333}<-\dfrac{17}{2}<-8<-\sqrt{33}, то есть оба корня входят в заданный отрезок.

Типичные ошибки

  • Не учитывать условие x≠−133x\neq-\dfrac1{33} и другие точки, где основание логарифма равно 1.
  • Ошибочно считать, что −x2−32x+33-x^2-32x+33 и (1−x)(x+33)(1-x)(x+33) — разные выражения, и не заметить совпадение оснований.
  • При проверке принадлежности отрезку не сравнивать квадраты чисел, а пытаться напрямую оценивать иррациональные корни, что приводит к ошибкам в знаке неравенства.
Непонятно?

Похожие задачи