Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

1. Область определения. Выражения под логарифмами: $9x^2+5>0$ и $8x^4+14>0$ — это верно для всех $x$, а основания $2$ и $\sqrt2$ положительны и не равны $1$. Значит уравнение определено при любом $x\in\mathbb{R}$.

2. Приводим обе части к одному основанию. Слева: $1+\log_2(9x^2+5)=\log_2 2+\log_2(9x^2+5)=\log_2\big(2(9x^2+5)\big)=\log_2(18x^2+10)$.

Справа используем свойство: если основание и аргумент возвести в одну и ту же степень, значение логарифма не меняется, т.е. $\log_{\sqrt2}\sqrt{8x^4+14}=\log_{2}(8x^4+14)$ (степень $1/2$ у основания и аргумента «сокращается»).

3. Получаем равносильное уравнение. $$\log_2(18x^2+10)=\log_2(8x^4+14).$$ Так как логарифмическая функция монотонна, равенство логарифмов при одинаковом основании равносильно равенству аргументов: $$18x^2+10=8x^4+14.$$

4. Решаем алгебраическое уравнение. $$8x^4-18x^2+4=0\ \Rightarrow\ 4x^4-9x^2+2=0.$$ Разложим на множители, подобрав корни: $(4x^2-1)(x^2-2)=0$.

Отсюда либо $4x^2-1=0\Rightarrow x=\pm\dfrac12$, либо $x^2-2=0\Rightarrow x=\pm\sqrt2$. Все найденные значения входят в область определения, значит это все корни.

5. Отбор корней на отрезке $[-1;\,8/9]$. Оценим порядок чисел: $-\sqrt2\approx-1.41<-1$, значит $-\sqrt2$ не попадает в отрезок. $\sqrt2\approx1.41>8/9\approx0.89$, значит $\sqrt2$ тоже не входит. А $-\dfrac12$ и $\dfrac12$ лежат между $-1$ и $8/9$, так как $-1<-\tfrac12<\tfrac12<\tfrac89$.

Значит на отрезке остаются корни $x=\pm\dfrac12$.