Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

а) Заметим, что $\log_{49}x^4=\log_{7^2}x^4=\dfrac12\log_7x^4=\log_7x^2$ (так как $\log_{a^2}b^{2k}=\log_a b^{k}$). Значит уравнение $\log_7(x+2)=\log_{49}x^4$ равносильно $\log_7(x+2)=\log_7x^2$.

Логарифмы с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их (положительные) аргументы, поэтому получаем систему $$\begin{cases}x+2>0,\\ x^2>0,\\ x+2=x^2.\end{cases}$$ Условие $x^2>0$ означает $x\neq0$, а условие $x+2>0$ выполняется при любом решении квадратного уравнения ниже, поэтому его отдельно проверим.

Решаем $x^2-x-2=0$: по теореме Виета $x_1=-1,\ x_2=2$. Оба значения не равны нулю и удовлетворяют $x+2>0$. Значит корни уравнения: $x=-1,\ x=2$.

б) Нужно определить, какие из корней лежат в $[\log_6\frac17;\ \log_6 35]$.

Так как $\frac17<\frac16<1<35<36$, а логарифм по основанию $6>1$ возрастает, то $$\log_6\tfrac17<\log_6\tfrac16=-1<\log_6 35<\log_6 36=2.$$

Значит $\log_6\frac17\approx-1{,}09<-1$, а $\log_6 35\approx1{,}99<2$. Отсюда $x=-1$ попадает в отрезок (так как $-1$ больше левой границы и меньше правой), а $x=2$ — нет, поскольку $2>\log_6 35$.

Итог: единственный подходящий корень — $x=-1$.