Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Шаг 1. Приводим логарифмы к одному основанию. Правая часть содержит основание $25=5^{2}$, поэтому используем свойство $\log_{a^{k}}b^{n}=\dfrac{n}{k}\log_{a}b$ (для допустимых $b$): $$\log_{25}x^{4}=\log_{5^{2}}x^{4}=\dfrac{4}{2}\log_{5}|x|=2\log_{5}|x|=\log_{5}x^{2}.$$ Здесь удобно перейти именно к $x^{2}$, чтобы не потерять корни при $x<0$ (модуль убираем через квадрат, а не через знак).

Шаг 2. Записываем равносильную систему. Теперь уравнение выглядит как $\log_{5}(2-x)=\log_{5}x^{2}$. Логарифмическая функция монотонна, значит равенство логарифмов эквивалентно равенству аргументов при условии, что оба аргумента положительны: $$\begin{cases}2-x=x^{2},\\ x^{2}>0,\ 2-x>0.\end{cases}$$ Условие $x^{2}>0$ означает $x\neq0$, а $2-x>0$ даёт $x<2$.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение. $x^{2}+x-2=0\Rightarrow (x-1)(x+2)=0\Rightarrow x=1\ \text{или}\ x=-2.$ Оба значения удовлетворяют условиям $x\neq0$ и $x<2$, значит оба являются корнями исходного уравнения.

Шаг 4 (пункт б). Проверяем принадлежность корней отрезку $[\log_{9}\frac{1}{82};\ \log_{9}8]$. Сравним границы отрезка с числом $-2$. Поскольку $9^{-2}=\dfrac{1}{81}$, а $\dfrac{1}{82}<\dfrac{1}{81}$, из монотонности логарифма следует $$\log_{9}\frac{1}{82}<\log_{9}\frac{1}{81}=-2.$$ Также $8<9\Rightarrow \log_{9}8<1$, а поскольку $8>1$, то $\log_{9}8>0$, следовательно $$-2<0<\log_{9}8.$$ Таким образом $\log_{9}\frac{1}{82}<-2<\log_{9}8$, то есть корень $x=-2$ лежит в заданном отрезке. Для $x=1$: так как $\log_{9}8<1$, число $1$ больше правой границы отрезка, значит $1$ отрезку не принадлежит.

Итог. В отрезок попадает только корень $x=-2$.