Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Шаг 1. Область определения. Уравнение содержит $\log_8 x$, поэтому нужно $x>0$.

Шаг 2. Замена переменной. Обозначим $t=\log_8 x$. Тогда уравнение $6\log_8^2 x-5\log_8 x+1=0$ переписывается как квадратное: $$6t^2-5t+1=0.$$ Это позволяет свести логарифмическое уравнение к обычному алгебраическому.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D=25-24=1$, корни: $$t=\frac{5\pm1}{12}\ \Rightarrow\ t_1=\frac12,\ t_2=\frac13.$$

Шаг 4. Возвращаемся к исходной переменной. Получаем два уравнения: $$\log_8 x=\frac12,\qquad \log_8 x=\frac13.$$ По определению логарифма $x=8^{t}$, значит: $$x=8^{1/2}=\sqrt8=2\sqrt2,\qquad x=8^{1/3}=2.$$ Оба значения положительны, значит удовлетворяют области определения.

Шаг 5. Отбор корней на отрезке $[2;2{,}5]$. Сравним $2\sqrt2$ и $2{,}5$: возведём оба числа в квадрат, чтобы сравнить без корней: $$2{,}5^2=6{,}25,\qquad (2\sqrt2)^2=8.$$ Поскольку $6{,}25<8$, то $2{,}5<2\sqrt2$, то есть $2\sqrt2$ лежит правее отрезка и не входит в него.

Значит, из двух найденных корней только $x=2$ принадлежит отрезку $[2;2{,}5]$ (второй корень $x=2\sqrt2>2{,}5$ не подходит).