ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравнения

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Логарифмические уравненияОбласть определения уравнения

а)  Решите уравнение левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0.

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2,5; −1,5].

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю при обязательном выполнении области определения; логарифм с основанием 0,50,5 переводится в основание 2 со знаком минус, что позволяет свести равенство логарифмов к равенству их аргументов.

Область определения. Произведение равно нулю только там, где оба логарифма существуют, поэтому сначала находим ОДЗ: x2−3>0x^2-3>0 и 3−x>0\sqrt3-x>0. Первое даёт x<−3x<-\sqrt3 или x>3x>\sqrt3, второе — x<3x<\sqrt3. Пересечение этих условий: x<−3x<-\sqrt3.

Преобразование уравнения. По формуле перехода к новому основанию log⁡0.5a=−log⁡2a\log_{0.5}a=-\log_2a, поэтому скобка принимает вид log⁡2(x2−3)−log⁡2(3−x)\log_2(x^2-3)-\log_2(\sqrt3-x). Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю (при выполнении ОДЗ).

Случай 1. x2+2x−1=0⇒x=−1±2x^2+2x-1=0\Rightarrow x=-1\pm\sqrt2. Проверяем ОДЗ x<−3≈−1,73x<-\sqrt3\approx-1,73: подходит только x=−1−2≈−2,41x=-1-\sqrt2\approx-2,41, так как −1+2>0-1+\sqrt2>0.

Случай 2. log⁡2(x2−3)=log⁡2(3−x)\log_2(x^2-3)=\log_2(\sqrt3-x). Так как логарифмическая функция монотонна, это равносильно равенству аргументов: x2−3=3−xx^2-3=\sqrt3-x, то есть x2+x−3−3=0x^2+x-3-\sqrt3=0. Разложение даёт (x−3)(x+3+1)=0(x-\sqrt3)(x+\sqrt3+1)=0, откуда x=3x=\sqrt3 или x=−3−1x=-\sqrt3-1. Первый корень не входит в ОДЗ (3>−3\sqrt3>-\sqrt3 неверно), второй подходит.

Итого корни: x=−1−2x=-1-\sqrt2 и x=−1−3x=-1-\sqrt3.

б) Оценим корни. Из 1<8<91<8<9 следует 1<22<31<2\sqrt2<3, то есть 0,5<2<1,50,5<\sqrt2<1,5, значит −2,5<−1−2<−1,5-2,5<-1-\sqrt2<-1,5 — этот корень входит в отрезок. Из 9<129<12 следует 3<233<2\sqrt3, то есть 3>1,5\sqrt3>1,5, значит −1−3<−2,5-1-\sqrt3<-2,5 — этот корень вне отрезка. Отсюда ответ пункта б) — только −1−2-1-\sqrt2.

Типичные ошибки

  • Забывают найти и учесть ОДЗ, из-за чего получают лишние (посторонние) корни.
  • Ошибочно считают, что произведение равно нулю при любом обнулении множителя, не проверяя, что оба логарифма при этом определены.
  • При оценке корней на отрезке допускают арифметические ошибки в сравнении 2\sqrt2 и 3\sqrt3 с нужными границами.
Непонятно?

Похожие задачи