Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Введём замену: пусть $a=\log_2(x^2-5)$, $b=\log_{1/3}(7-x)$. Область определения: $x^2-5>0$ и $7-x>0$, то есть $x<7$ и $|x|>\sqrt5$.

Уравнение принимает вид $a\,b^2+3a-2b^2-6=0$. Сгруппируем слагаемые с общими множителями: $a(b^2+3)-2(b^2+3)=0$, то есть $(a-2)(b^2+3)=0$.

Поскольку $b^2\ge0$, выражение $b^2+3\ge3>0$ всегда, значит равенство нулю возможно только если $a-2=0$, то есть $a=2$.

Подставляем обратно: $\log_2(x^2-5)=2$, откуда по определению логарифма $x^2-5=2^2=4$, то есть $x^2=9$, $x=\pm3$.

Проверим область определения: при $x=3$ имеем $x^2-5=4>0$, $7-x=4>0$, $x<7$ — всё верно. При $x=-3$: $x^2-5=4>0$, $7-x=10>0$, $x<7$ — тоже верно. Оба корня подходят, ответ пункта а): $\{-3;3\}$.

б) Нужно определить, какие из корней лежат в промежутке $\left[\log_2\frac17;\ \log_2 9\right]$.

Оценим левую границу: так как $\frac18<\frac17<\frac14$, то $\log_2\frac18<\log_2\frac17<\log_2\frac14$, то есть $-3<\log_2\frac17<-2$. Значит корень $x=-3$ меньше левой границы промежутка и не входит в него.

Оценим правую границу: $\log_2 9>\log_2 8=3$, значит $3<\log_2 9$, и корень $x=3$ находится внутри промежутка.

Следовательно, промежутку принадлежит только корень $x=3$.