Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Шаг 1. Условие равенства логарифмов. Так как $\log_3 A=\log_3 B$ при одинаковом основании возможно только когда $A=B$ и область определения выполнена (достаточно потребовать положительность одного из выражений, второе автоматически совпадёт с ним), уравнение равносильно системе: $$\begin{cases}x^3+6x^2-3x-19=x+5,\\ x+5>0.\end{cases}$$

Шаг 2. Решаем кубическое уравнение. Переносим всё в одну сторону: $$x^3+6x^2-4x-24=0.$$ Группируем слагаемые, чтобы вынести общий множитель: $$x^2(x+6)-4(x+6)=0\ \Rightarrow\ (x+6)(x^2-4)=0\ \Rightarrow\ (x+6)(x-2)(x+2)=0.$$ Отсюда корни: $x=-6,\ x=2,\ x=-2$.

Шаг 3. Проверяем ограничение $x+5>0$. Оно означает $x>-5$. Корень $x=-6$ не подходит, так как $-6<-5$. Остаются $x=-2$ и $x=2$ — это и есть ответ пункта а).

Шаг 4. Оцениваем границы отрезка для пункта б). Основание логарифма $0{,}5<1$, поэтому функция убывающая, и можно перейти к основанию 2 через свойство $\log_{1/2}t=-\log_2 t$: $$\log_{0,5}100=-\log_2100\approx -6{,}64,\qquad \log_{0,5}0{,}3=\log_2\frac{10}{3}\approx 1{,}74.$$ Значит отрезок примерно $[-6{,}64;\,1{,}74)$ (правая граница не включается, так как исходный интервал полуоткрытый).

Шаг 5. Проверяем корни. Число $-2$ лежит в этом промежутке ($-6{,}64<-2<1{,}74$), а $2$ — нет, так как $2>1{,}74$. Следовательно, из найденных корней отрезку принадлежит только $x=-2$.