Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Обозначим $a=\log_3 x$, $b=\log_3(4x^2-1)$. Тогда уравнение $\log_3 x\cdot\log_3(4x^2-1)=\log_3\dfrac{x(4x^2-1)}{3}$ переписывается как $a\cdot b=\log_3 a+\log_3 b$... точнее $ab=a+b-1$, так как $\log_3\dfrac{x(4x^2-1)}{3}=\log_3 x+\log_3(4x^2-1)-\log_3 3=a+b-1$ по свойству логарифма произведения и частного.

Переносим всё в одну сторону: $ab-a-b+1=0$. Группируем: $a(b-1)-(b-1)=0$, то есть $(a-1)(b-1)=0$. Значит либо $a=1$, либо $b=1$ — это ключевой приём разложения на множители.

Возвращаясь к переменным: $\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$ (при этом нужно проверить, что при этом $4x^2-1>0$, что верно). Второй случай: $\log_3(4x^2-1)=1 \Rightarrow 4x^2-1=3 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$, но по области определения исходного уравнения нужно $x>0$, поэтому $x=1$.

Итак, корни: $x=1$ и $x=3$.

б) Оценим границы отрезка $[\log_5 2;\ \log_5 27]$. Так как $2<5<27<125$, то $\log_5 2<\log_5 5=1<\log_5 27<\log_5 125=3$. То есть отрезок содержит число 1, но не содержит 3. Поэтому из найденных корней в отрезок попадает только $x=1$.