Показательные уравнения в задании 13 ЕГЭ: метод замены переменной

О чём эта подтема

Показательные уравнения в задании 13 ЕГЭ профильного уровня — это уравнения, где переменная стоит в показателе степени. Задание состоит из двух пунктов: в пункте а) нужно решить уравнение целиком (найти все корни), а в пункте б) — отобрать из найденных корней те, которые попадают в заданный промежуток или отрезок.

Особенность таких уравнений на ЕГЭ в том, что почти всегда они сводятся к квадратному уравнению относительно новой переменной. Показательная функция после замены превращается в алгебраическую, и вся сложность задачи смещается на два места: правильно выполнить преобразования степеней и аккуратно сравнить полученные логарифмические значения с границами промежутка.

Эта подтема важна, потому что она комбинирует несколько базовых навыков: свойства степеней, решение квадратных уравнений, работу с логарифмами и оценку числовых значений без калькулятора. Именно последний пункт — сравнение $\log_a b$ с рациональными числами — часто становится камнем спотыкания, хотя сама техника решения уравнения довольно шаблонна.

Что нужно знать

Для решения показательных уравнений этого типа достаточно твёрдо знать следующий набор фактов.

Свойства степеней. Все преобразования строятся на трёх правилах: $$a^{x+y}=a^x\cdot a^y,\qquad a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y},\qquad (a^x)^y=a^{xy}.$$ Особенно важно уметь представлять степени с разными основаниями через общее основание. Например, $9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2$, а $4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2$. Это ключевой шаг, без которого замена переменной невозможна.

Область значений показательной функции. Функция $y=a^x$ при $a>0,\ a\neq1$ принимает только положительные значения: $a^x>0$ для любого $x$. Это значит, что при замене $t=a^x$ обязательно нужно указывать условие $t>0$ и отбрасывать отрицательные или нулевые корни вспомогательного уравнения.

Монотонность показательной функции. Функция $y=a^x$ строго монотонна (возрастает при $a>1$, убывает при $0<a<1$), поэтому уравнение $a^x=a^y$ равносильно $x=y$, а уравнение $a^x=c$ при $c>0$ имеет ровно одно решение $x=\log_a c$.

Определение и свойства логарифма. Если $a^x=c$, где $c>0$, $a>0$, $a\neq1$, то $x=\log_a c$. Нужно уверенно пользоваться логарифмом как обозначением корня — не пытаться «угадать» приближённое значение, а работать с ним как с точным числом.

Сравнение логарифмов с рациональными числами. Для отбора корней на промежутке нужно уметь сравнивать выражения вида $\log_a b$ с целыми числами или дробями, используя монотонность логарифмической функции. Например, чтобы сравнить $\log_3 5$ с числом $1$, представляем $1=\log_3 3$ и сравниваем аргументы: раз $5>3$, то $\log_3 5>1$. Аналогично сравниваем с любой дробью, приводя её к виду логарифма с тем же основанием.

Решение квадратных уравнений. После замены переменной почти всегда получается квадратное уравнение вида $t^2+pt+q=0$, которое решается через дискриминант или разложением на множители, если корни угадываются легко (по теореме Виета).

Как решать: метод и алгоритм

Стандартный алгоритм решения показательного уравнения из задания 13 выглядит так.

Шаг 1. Привести все степени к одному основанию. Если в уравнении встречаются степени с разными основаниями (например, 9 и 3, или 4 и 2), нужно заметить, что одно основание является степенью другого, и переписать все члены через общее основание.

Шаг 2. Разложить сложные степени через базовую. Используя свойства степеней, представить каждый член уравнения как выражение, содержащее $a^x$ в первой или второй степени, возможно с числовым множителем. Дробные и отрицательные показатели раскрываются через деление или обратную величину.

Шаг 3. Ввести замену. Обозначить $t=a^x$ и обязательно указать ограничение $t>0$. Переписать уравнение относительно $t$ — должно получиться квадратное (реже линейное) уравнение.

Шаг 4. Решить уравнение относительно $t$. Найти корни, проверить их на соответствие условию $t>0$. Отбросить отрицательные или нулевые значения — они не могут быть значением показательной функции.

Шаг 5. Вернуться к исходной переменной. Для каждого допустимого $t$ решить уравнение $a^x=t$, то есть найти $x=\log_a t$. Если $t$ представляет собой степень основания $a$ (например, $t=9$ при основании 3), корень получится рациональным числом; если нет — ответ записывается через логарифм.

Шаг 6 (для пункта б). Отобрать корни на промежутке. Каждый найденный корень нужно сравнить с границами заданного промежутка. Для этого либо оценить логарифм числовыми неравенствами (сравнивая с целыми числами через свойство монотонности логарифма), либо привести все части неравенства к сравнимому виду. Важно учитывать, открыт или замкнут промежуток — включаются ли граничные точки.

Этот алгоритм работает практически для всех показательных уравнений уровня задания 13, где присутствует один и тот же аргумент $x$ во всех показателях (возможно, со сдвигом или дробным коэффициентом).

Разбор примера

Пример 1.

Условие: а) решить уравнение $9^{\left(x-\frac12\right)}-8\cdot 3^{(x-1)}+5=0$; б) найти корни, принадлежащие промежутку $\left(1;\dfrac{7}{3}\right)$.

Шаг 1. Приводим всё к основанию 3, так как $9=3^2$. $$9^{x-\frac12}=3^{2\left(x-\frac12\right)}=3^{2x-1}=\dfrac{3^{2x}}{3}.$$ $$3^{x-1}=\dfrac{3^x}{3}.$$

Шаг 2. Подставляем в уравнение: $$\dfrac{3^{2x}}{3}-8\cdot\dfrac{3^x}{3}+5=0.$$ Умножаем обе части на 3, чтобы убрать знаменатели: $$3^{2x}-8\cdot 3^x+15=0.$$

Шаг 3. Замена $t=3^x$, где $t>0$. Так как $3^{2x}=(3^x)^2=t^2$, получаем: $$t^2-8t+15=0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней 8, произведение 15 — подходят $t_1=3$, $t_2=5$. Оба значения положительны, значит подходят оба.

Шаг 5. Возвращаемся к $x$: $$3^x=3 \;\Rightarrow\; x=1,$$ $$3^x=5 \;\Rightarrow\; x=\log_3 5.$$ Ответ к пункту а): $x=1$, $x=\log_3 5$.

Шаг 6. Отбираем корни на промежутке $\left(1;\dfrac{7}{3}\right)$ — этот промежуток открытый, то есть граничные точки не входят.

Проверяем $x=1$: точка $1$ является левой границей промежутка, а промежуток открытый, значит $x=1$ не входит.

Проверяем $x=\log_3 5$. Сравним это число с границами. Сравнение с $1$: $1=\log_3 3$, а так как $5>3$, то $\log_3 5>1$ — нижняя граница пройдена. Сравнение с $\dfrac73$: представим $\dfrac73=\log_3 3^{7/3}$. Проверим, что $3^{7/3}>5$. Возведём обе части в степень 3: $3^7=2187$, а $5^3=125$. Так как $2187>125$, то $3^{7/3}>5$, следовательно $\log_3 5<\dfrac73$.

Значит $1<\log_3 5<\dfrac73$, и корень $x=\log_3 5$ входит в промежуток.

Ответ к пункту б): $x=\log_3 5$.

Пример 2.

Условие: а) решить уравнение $4^x-2^{(x+3)}+15=0$; б) определить, какие корни принадлежат отрезку $\left[2;\sqrt{10}\right]$.

Шаг 1. Приводим к основанию 2: $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$, а $2^{x+3}=2^x\cdot 2^3=8\cdot 2^x$.

Шаг 2. Уравнение принимает вид: $$2^{2x}-8\cdot 2^x+15=0.$$

Шаг 3. Замена $t=2^x$, $t>0$, при этом $2^{2x}=t^2$: $$t^2-8t+15=0.$$

Шаг 4. Те же корни, что и в примере 1: $t_1=3$, $t_2=5$, оба положительны.

Шаг 5. Возвращаемся к $x$: $$2^x=3 \;\Rightarrow\; x=\log_2 3,$$ $$2^x=5 \;\Rightarrow\; x=\log_2 5.$$ Ответ к пункту а): $x=\log_2 3$, $x=\log_2 5$.

Шаг 6. Отбираем корни на отрезке $\left[2;\sqrt{10}\right]$ — отрезок замкнутый, границы включаются. Заметим, что $\sqrt{10}\approx3{,}16$.

Проверяем $x=\log_2 3$. Сравним с нижней границей $2=\log_2 4$. Так как $3<4$, то $\log_2 3<2$ — корень меньше левой границы, не входит в отрезок.

Проверяем $x=\log_2 5$. Сравнение с $2$: $2=\log_2 4$, а $5>4$, значит $\log_2 5>2$ — нижняя граница пройдена. Сравнение с $\sqrt{10}$: представим $\sqrt{10}=\log_2 2^{\sqrt{10}}$ неудобно, лучше возвести в квадрат обратное неравенство. Предположим $\log_2 5<\sqrt{10}$ и проверим: возведём обе части в квадрат (обе положительны), получим сравнение $(\log_2 5)^2$ и $10$. Проще оценить численно диапазон: $2^{3}=8<10<16=2^4$, значит $3<\log_2 10<4$; при этом известно, что $\log_2 5=\log_2 10-1$, откуда $\log_2 5<\log_2 10-1<4-1=3$. Так как $\sqrt{10}\approx3{,}16>3>\log_2 5$, то $\log_2 5<\sqrt{10}$.

Значит $2<\log_2 5<\sqrt{10}$, и этот корень входит в отрезок.

Ответ к пункту б): $x=\log_2 5$.

Типичные ошибки

Забывают про условие $t>0$. После замены $t=a^x$ школьники решают квадратное уравнение и подставляют оба корня обратно, не проверив их знак. Если получается отрицательный или нулевой $t$, уравнение $a^x=t$ не имеет решений — этот корень нужно отбросить сразу, до перехода к $x$.

Ошибки при разложении степеней. Частая ошибка — неправильно раскрыть $a^{x-1}$ как $a^x-a$ вместо $\dfrac{a^x}{a}$, или $9^{x-\frac12}$ как $9^x-\sqrt9$ вместо деления на $\sqrt9=3$. Нужно чётко помнить: показатель степени при вычитании превращается в деление, а не в вычитание самого числа.

Путают основания. Если в уравнении встречаются степени 4 и 2 или 9 и 3, важно сразу заметить связь между основаниями и привести всё к меньшему. Пропуск этого шага делает замену переменной невозможной.

Неверное сравнение логарифма с числом при отборе корней. Многие пытаются оценить $\log_a b$ приближённо «на глаз» или ошибаются в направлении неравенства при переходе к монотонности. Надёжный способ — представить сравниваемое число как логарифм того же основания и сравнить только аргументы, помня, что для оснований больше 1 логарифм возрастает, а для оснований меньше 1 — убывает.

Забывают про открытость/замкнутость промежутка. В пункте б) легко упустить, что граница входит в отрезок, но не входит в интервал. Это может радикально изменить ответ, как в примере 1, где $x=1$ является ровно левой границей открытого промежутка.

Арифметические ошибки при решении квадратного уравнения. Несмотря на кажущуюся простоту, ошибки в вычислении дискриминанта или в подборе корней по теореме Виета встречаются часто, особенно под давлением экзаменационного времени. Полезно всегда проверять найденные корни подстановкой в уравнение относительно $t$.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания 13 с показательным уравнением стоит придерживаться нескольких практических правил.

Во-первых, сразу определите общее основание для всех степеней в уравнении — это первый и самый важный шаг, от него зависит вся дальнейшая работа. Если основания 4, 8, 16, 9, 27 и подобные, ищите наименьшее простое основание (2 или 3), к которому все они приводятся.

Во-вторых, после замены переменной обязательно фиксируйте условие $t>0$ на бумаге — это не формальность, а страховка от потери контроля над корнями и от случайного включения посторонних значений.

В-третьих, ответ в пункте а) может содержать как рациональные числа, так и логарифмические выражения — не пытайтесь округлить логарифм или дать десятичное приближение: полный балл даётся только за точный ответ вида $\log_a b$.

В-четвёртых, для пункта б) выработайте привычку сравнивать логарифм с границами промежутка через переход к логарифму того же основания, а не через калькулятор в уме. Способ «представить число как $\log_a a^k$» работает почти всегда и даёт строгое доказательство, которое можно записать в решении.

В-пятых, всегда перечитывайте формулировку промежутка — квадратные и круглые скобки имеют принципиальное значение, и невнимательность здесь стоит балла даже при полностью верном решении уравнения.

Наконец, оформляйте решение полностью: указывайте замену, промежуточное квадратное уравнение, оба корня относительно $t$, переход к $x$ и обоснование отбора в пункте б). Задание оценивается по критериям, где важна не только правильность ответа, но и логическая полнота решения.