Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

1. Приведём все степени к основанию 4, используя свойства степеней. $9^{x-\frac12}=\dfrac{9^{x}}{9^{1/2}}=\dfrac{9^{x}}{3}$, поэтому $3\cdot 9^{x-\frac12}=9^{x}$. $4^{x+1}=4\cdot4^{x}$, поэтому $3\cdot4^{x+1}=12\cdot4^{x}$. Уравнение принимает вид $9^{x}-7\cdot6^{x}+12\cdot4^{x}=0$.

2. Делим обе части на $4^{x}\neq0$ (это законно, так как $4^x>0$): $$\left(\frac{9}{4}\right)^{x}-7\left(\frac{6}{4}\right)^{x}+12=0,$$ т.е. $\left(\dfrac32\right)^{2x}-7\left(\dfrac32\right)^{x}+12=0$, так как $\dfrac94=\left(\dfrac32\right)^2$ и $\dfrac64=\dfrac32$.

3. Вводим замену $t=\left(\dfrac32\right)^{x}>0$. Получаем квадратное уравнение $$t^{2}-7t+12=0.$$ По теореме Виета (или через дискриминант $D=49-48=1$) корни $t=3$ и $t=4$ — оба положительны, замена допустима.

4. Возвращаемся к переменной $x$:

• при $t=3$: $\left(\dfrac32\right)^{x}=3\Rightarrow x=\log_{1.5}3$;
• при $t=4$: $\left(\dfrac32\right)^{x}=4\Rightarrow x=\log_{1.5}4$.

5. Для пункта б) сравним корни с границами отрезка $[2;3]$, используя монотонность показательной функции с основанием $1.5>1$. $\left(\dfrac32\right)^{2}=2.25$, $\left(\dfrac32\right)^{3}=3.375$. Так как $2.25<3<3.375$, то $2<\log_{1.5}3<3$ — этот корень попадает в отрезок. Так как $3.375<4$, то $\log_{1.5}4>3$ — этот корень отрезку не принадлежит.

Следовательно, в отрезок $[2;3]$ входит только $x=\log_{1.5}3$.