Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Заметим, что $27^x=(3^x)^3$, $9^x=(3^x)^2$, а $3^{x+2}=9\cdot3^x$. Значит уравнение можно переписать через степени числа $9^x$ и $3^x$: $$9^x\cdot3^x-5\cdot9^x-9\cdot3^x+45=0.$$ Сгруппируем слагаемые попарно, чтобы вынести общие множители: $$9^x(3^x-5)-9(3^x-5)=0.$$ Теперь видно общий множитель $(3^x-5)$, выносим его: $$(3^x-5)(9^x-9)=0.$$ Произведение равно нулю, значит один из множителей равен нулю — получаем систему из двух уравнений (совокупность): $$3^x=5 \quad\text{или}\quad 9^x=9.$$ Первое уравнение решаем логарифмированием по основанию 3: $x=\log_3 5$. Второе — сравнивая показатели, так как основания равны: $x=1$. Итак, корни уравнения: $x=1,\; x=\log_3 5$.

б) Нужно выбрать корни, попадающие в отрезок $[\log_3 4;\ \log_3 10]$. Сравним числа: так как логарифм по основанию 3 — возрастающая функция, а $4<5<10$, то $$\log_3 4<\log_3 5<\log_3 10.$$ Также $\log_3 4>1$ (поскольку $4>3=3^1$), значит корень $x=1$ меньше левой границы отрезка и не входит в него. А корень $x=\log_3 5$ лежит строго между границами, значит принадлежит отрезку. Ответ: только $x=\log_3 5$.