Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Шаг 1. Упрощаем степени. Заметим, что $4^{x^2-3x}=\dfrac{4^{x^2-3x+1}}{4}$, поэтому $48\cdot4^{x^2-3x}=12\cdot4^{x^2-3x+1}$. Обозначим $t=x^2-3x+1$ — тогда все показатели одинаковы, уравнение принимает вид: $$7\cdot9^{t}+5\cdot6^{t}-12\cdot4^{t}=0.$$

Шаг 2. Сводим к квадратному уравнению. Разделим обе части на $4^{t}>0$ (это не меняет решения, так как $4^t\ne0$): $$7\left(\frac94\right)^{t}+5\left(\frac32\right)^{t}-12=0.$$ Так как $\dfrac94=\left(\dfrac32\right)^2$, введём замену $y=\left(\dfrac32\right)^{t}$ ($y>0$, так как показательная функция всегда положительна). Получаем квадратное уравнение: $$7y^2+5y-12=0.$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D=25+4\cdot7\cdot12=361=19^2$, отсюда $$y=\frac{-5\pm19}{14}\ \Rightarrow\ y_1=1,\quad y_2=-\frac{12}{7}.$$ Корень $y_2$ отрицателен, а $y=\left(\dfrac32\right)^t$ по свойству показательной функции всегда положителен — этот корень отбрасываем.

Шаг 4. Возвращаемся к $t$. Из $y_1=1$: $\left(\dfrac32\right)^{t}=1 \Rightarrow t=0$ (степень равна единице только при нулевом показателе).

Шаг 5. Возвращаемся к $x$. По определению $t=x^2-3x+1=0$. Решаем квадратное уравнение: $$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$

Шаг 6 (пункт б). Отбираем корни на $[-1;2]$. Оценим $\sqrt5$: так как $4<5<9$, то $2<\sqrt5<3$. Тогда для корня $x=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$: подставляя границы, $\dfrac{3+2}{2}<x<\dfrac{3+3}{2}$, то есть $2{,}5<x<3$ — этот корень больше 2, не подходит. Для корня $x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$: $\dfrac{3-3}{2}<x<\dfrac{3-2}{2}$, то есть $0<x<0{,}5$ — этот корень лежит внутри отрезка $[-1;2]$.

Следовательно, единственный подходящий корень — $x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$.