Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Перепишем все степени через основание 2 и 3, учитывая, что $2^{2x}=4^{x}$, а $8\cdot4^{x}=2\cdot4^{x+1}$. Тогда уравнение $3\cdot9^{x+1}-5\cdot6^{x+1}+8\cdot2^{2x}=0$ принимает вид $$3\cdot9^{x+1}-5\cdot6^{x+1}+2\cdot4^{x+1}=0.$$ Это однородное уравнение относительно $3^{x+1}$ и $2^{x+1}$ (степени $9^{x+1}=(3^{x+1})^2$, $6^{x+1}=3^{x+1}\cdot2^{x+1}$, $4^{x+1}=(2^{x+1})^2$). Делим обе части на $4^{x+1}>0$ (это не меняет корней), получаем $$3\left(\frac{3}{2}\right)^{2(x+1)}-5\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1}+2=0.$$ Введём замену $t=\left(\frac{3}{2}\right)^{x+1}>0$. Получаем квадратное уравнение $$3t^2-5t+2=0,$$ корни которого $t=1$ и $t=\dfrac23$ (оба положительны, значит подходят).

Возвращаясь к переменной $x$:

• $\left(\frac32\right)^{x+1}=1 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1$;
• $\left(\frac32\right)^{x+1}=\frac23=\left(\frac32\right)^{-1} \Rightarrow x+1=-1 \Rightarrow x=-2$.

Таким образом множество корней уравнения — $\{-2;-1\}$.

Б) Теперь проверим, какие из найденных корней лежат в отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Так как $\pi\approx3.14$, то $-\dfrac{\pi}{2}\approx-1.57$. Значит отрезок — это числа от $-1.57$ до $3.14$.

Проверяем: $-1$ лежит в этом промежутке, так как $-1.57\le-1\le3.14$. А $-2$ не подходит, поскольку $-2<-1.57$.

Поэтому в отрезок попадает только корень $x=-1$.