ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Показательные уравнения

Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 13Показательные уравненияВведение замены

а)  Решите уравнение 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус 24 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка плюс 8=0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка .

В подтеме 12 задач
Разбор
Главная идея: Свести показательное уравнение к квадратному через замену t=2x2−3t=2^{x^2-3}, выразив 4x2−14^{x^2-1} через t2t^2 с помощью свойств степеней.

  1. Заметим, что 4x2−1=(2x2−3)2⋅4x2−14x2−3=(2x2−3)2⋅42=16⋅(2x2−3)24^{x^2-1}=(2^{x^2-3})^2\cdot\frac{4^{x^2-1}}{4^{x^2-3}}=(2^{x^2-3})^2\cdot 4^2=16\cdot(2^{x^2-3})^2, так как 4x2−1=4(x2−3)+2=4x2−3⋅164^{x^2-1}=4^{(x^2-3)+2}=4^{x^2-3}\cdot 16, а 4x2−3=(2x2−3)24^{x^2-3}=(2^{x^2-3})^2.

  2. Введём замену t=2x2−3t=2^{x^2-3}, тогда 4x2−1=16t24^{x^2-1}=16t^2, и уравнение принимает вид 16t2−24t+8=016t^2-24t+8=0.

  3. Разделим на 8: 2t2−3t+1=02t^2-3t+1=0. По формуле дискриминанта или разложением получаем корни t=1t=1 и t=12t=\frac12 — оба положительны, значит подходят (показательная функция всегда даёт положительные значения).

  4. Возвращаемся к переменной x, решая два показательных уравнения:

  • 2x2−3=1=20⇒x2−3=0⇒x=±32^{x^2-3}=1=2^0 \Rightarrow x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt3;
  • 2x2−3=12=2−1⇒x2−3=−1⇒x2=2⇒x=±22^{x^2-3}=\frac12=2^{-1} \Rightarrow x^2-3=-1 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2.

Итак, все корни уравнения: x∈{−3, −2, 2, 3}x\in\{-\sqrt3,\,-\sqrt2,\,\sqrt2,\,\sqrt3\}.

  1. Для отбора корней на отрезке [−53;2]\left[-\frac53;2\right] сравним числа. Известно, что 2≈1,41\sqrt2\approx1{,}41, 3≈1,73\sqrt3\approx1{,}73, поэтому 2<3<2\sqrt2<\sqrt3<2 — оба числа попадают в отрезок справа.

  2. Проверим левую границу: 53≈1,67\frac53\approx1{,}67, значит 3≈1,73>53\sqrt3\approx1{,}73>\frac53, то есть −3<−53-\sqrt3<-\frac53 — этот корень выходит за пределы отрезка слева. А 2≈1,41<53\sqrt2\approx1{,}41<\frac53, значит −2>−53-\sqrt2>-\frac53 — этот корень входит в отрезок.

  3. Таким образом, в отрезок [−53;2]\left[-\frac53;2\right] попадают корни −2, 2, 3-\sqrt2,\ \sqrt2,\ \sqrt3.

Типичные ошибки

  • Ошибка при выражении 4x2−14^{x^2-1} через t=2x2−3t=2^{x^2-3} — неверный подсчёт степени двойки (множитель 16).
  • Потеря одного из корней квадратного уравнения по t или неверная проверка знака при переходе к x.
  • Неправильное сравнение чисел 2\sqrt2, 3\sqrt3 и 53\frac53 при отборе корней на отрезке, что приводит к включению или исключению лишних значений.
Непонятно?

Похожие задачи