Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Произведение равно нулю, значит равен нулю один из множителей — уравнение распадается на два случая.

1) $x^2+4x-2=0$. По формуле корней квадратного уравнения: $x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+8}}{2}=-2\pm\sqrt6$.

2) $4^{3x+1}+8^{2x-1}-11=0$. Приводим степени к основанию 2: $4^{3x+1}=2^{6x+2}$, $8^{2x-1}=2^{6x-3}$. Получаем $2^{6x+2}+2^{6x-3}=11$, то есть $2^{6x-3}(2^5+1)=11$, значит $2^{6x-3}\cdot 33=11$, откуда $2^{6x-3}=\dfrac13$.

Переходим к логарифму по основанию 2: $6x-3=\log_2\frac13=-\log_2 3$, значит $6x=3-\log_2 3$, то есть $x=\dfrac12-\dfrac16\log_2 3$.

Все три найденных значения дают все решения уравнения а).

б) Отбираем корни на $[-0{,}5;0{,}5]$.

$-2-\sqrt6<-2$ — не подходит.

Оценим $\sqrt6$: из $9<24<25$ следует $3<2\sqrt6<5$, то есть $1{,}5<\sqrt6<2{,}5$, значит $-0{,}5<\sqrt6-2<0{,}5$ — подходит.

Оценим $\log_2 3$: из $1<3<64$ следует $0<\log_2 3<6$, значит $-1<-\frac16\log_2 3<0$, а тогда $-0{,}5<\frac12-\frac16\log_2 3<0{,}5$ — подходит.