Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Шаг 1. Приводим все степени к одному основанию. Заметим, что $8^x=2^{3x}$, а $2^{x+1}=2\cdot2^x$, $2^{-x}=1/2^x$. Умножим обе части уравнения на $2^x>0$ (это не меняет множество корней, так как $2^x\ne0$): $$8^x\cdot2^x-5\cdot2^{x+1}\cdot2^x+16=0.$$ Считаем степени: $8^x\cdot2^x=2^{3x+x}=2^{4x}=16^x$, а $2^{x+1}\cdot2^x=2^{2x+1}=2\cdot4^x$. Получаем $$16^x-10\cdot4^x+16=0.$$

Шаг 2. Замена переменной. Так как $16^x=(4^x)^2$, вводим $t=4^x>0$: $$t^2-10t+16=0.$$ По теореме Виета (или через дискриминант) корни: $t=8$ и $t=2$ — оба положительны, значит подходят.

Шаг 3. Возвращаемся к $x$. $4^x=8 \Rightarrow 2^{2x}=2^3 \Rightarrow x=\dfrac32$. $4^x=2 \Rightarrow 2^{2x}=2^1 \Rightarrow x=\dfrac12$.

Итак, множество решений: $x\in\left\{\dfrac12;\dfrac32\right\}$.

Шаг 4. Отбор корней на отрезке $[\log_5 2;\ \log_5 10]$. Сравним границы отрезка с числами $\dfrac12$ и $\dfrac32$, используя монотонность логарифма по основанию 5 (основание больше 1, функция возрастает).

• $\dfrac12=\log_5\sqrt5$, а $\sqrt5\approx2.236>2$, поэтому $\log_5 2<\log_5\sqrt5=\dfrac12$.
• $\dfrac32=\log_5\sqrt{125}$, а $\sqrt{125}\approx11.18>10$, поэтому $\log_5 10<\log_5\sqrt{125}=\dfrac32$.

Таким образом $\log_5 2<\dfrac12<\log_5 10<\dfrac32$.

Значит, число $\dfrac12$ лежит внутри отрезка, а $\dfrac32$ — вне его (правее правой границы). Следовательно, отрезку принадлежит только корень $x=\dfrac12$.