Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Шаг 1. Приведём степени к общему основанию. Заметим, что $9^{x-\frac12}=9^{(x-1)+\frac12}=9^{\frac12}\cdot9^{x-1}=3\cdot9^{x-1}$, так как $9^{1/2}=3$. Это позволяет выразить всё через $3^{x-1}$, ведь $9^{x-1}=(3^{x-1})^2$.

Шаг 2. Переписываем уравнение. Исходное уравнение $9^{x-\frac12}-8\cdot3^{x-1}+5=0$ превращается в $$3\cdot(3^{x-1})^2-8\cdot3^{x-1}+5=0.$$

Шаг 3. Замена переменной. Пусть $t=3^{x-1}>0$ (показательная функция всегда положительна). Получаем квадратное уравнение $$3t^2-8t+5=0.$$ Дискриминант: $D=64-60=4$, корни $t=\dfrac{8\pm2}{6}$, то есть $t=1$ и $t=\dfrac53$. Оба значения положительны, значит подходят.

Шаг 4. Возврат к переменной x.

• При $t=1$: $3^{x-1}=1=3^0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$.
• При $t=\dfrac53$: $3^{x-1}=\dfrac53 \Rightarrow x-1=\log_3\dfrac53=\log_35-1 \Rightarrow x=\log_35$ (используем свойство логарифма частного).

Итого корни уравнения: $x=1$ и $x=\log_35$.

Шаг 5. Отбор корней на промежутке $(1;\,7/3)$.

• $x=1$ не входит в промежуток, так как границы открытые (1 не включается).
• Для $x=\log_35$ проверим неравенства: так как $3^1=3<5$, то $\log_35>1$. А так как $5<9=3^2$, то $\log_35<2$, а $2<\dfrac73$. Значит $1<\log_35<\dfrac73$ — корень входит в промежуток.

Таким образом, единственный подходящий корень — $x=\log_35$.