Задание 13 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

Шаг 1. Приводим все степени к одному основанию. Заметим, что $4^{x-0,5}=\dfrac{4^x}{4^{0,5}}=\dfrac{4^x}{2}$, поэтому $24\cdot4^{x-0,5}=12\cdot4^x$. Также $2^{x+1}=2\cdot2^x$, значит $11\cdot2^{x+1}=22\cdot2^x$.

Подставляя, уравнение принимает вид: $$12\cdot4^x-22\cdot2^x+6=0.$$ Разделим обе части на 2, чтобы упростить коэффициенты: $$6\cdot4^x-11\cdot2^x+3=0.$$

Шаг 2. Замена переменной. Поскольку $4^x=(2^x)^2$, вводим $t=2^x>0$ (степень всегда положительна). Получаем квадратное уравнение: $$6t^2-11t+3=0.$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D=121-72=49$, $\sqrt D=7$. $$t=\frac{11\pm7}{12}\;\Rightarrow\;t_1=\frac{18}{12}=\frac32,\quad t_2=\frac{4}{12}=\frac13.$$ Оба корня положительны, значит подходят.

Шаг 4. Возвращаемся к исходной переменной. $2^x=\dfrac13\Rightarrow x=\log_2\dfrac13=-\log_2 3$. $2^x=\dfrac32\Rightarrow x=\log_2\dfrac32=\log_2 1{,}5$.

Пункт б) Отбор корней на $[-1;1]$. Сравним корни с границами промежутка. Так как $\log_2 3>\log_2 2=1$, то $-\log_2 3<-1$ — этот корень не входит в отрезок. Так как $1<1{,}5<2$, то $0<\log_2 1{,}5<1$ — этот корень принадлежит отрезку $[-1;1]$.

Следовательно, единственный корень на данном промежутке — $x=\log_2 1{,}5$.